कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 1$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \sin^{3} (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.4

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

चरण 1.4.2

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ है.

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \sin^{2} (x)$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2.5

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2.6

घातांक जोड़कर $\sin^{2} (x)$ को $\sin (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

$\sin (x)$ ले जाएं.

$6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2.6.2

$\sin (x)$ को $\sin^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.2.1

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2.6.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2.6.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2.7

$- 1$ को $\sin^{3} (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2.8

$- 1 \sin^{3} (x)$ को $- \sin^{3} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2.9

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2.10

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.2.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

चरण 2.3.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

चरण 2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$- 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

चरण 2.4.2.2

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

चरण 2.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

चरण 3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ है.

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$