कैलकुलस उदाहरण

$h (x) = 6 \cos^{4} (x) \sin (x)$ , $[0, π]$

चरण 1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2

$h (x)$ $[0, π]$ पर निरंतर है.

$h (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $h$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\int_{0}^{π} 6 \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

चरण 5

चूँकि $6$ बटे $x$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{0}^{π} \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

चरण 6

मान लीजिए $u = \cos (x)$ .फिर $d u = - \sin (x) d x$ , तो $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u = \cos (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\cos (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 6.1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- \sin (x)$

चरण 6.2

$x$ के लिए $u = \cos (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \cos (0)$

चरण 6.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 6.4

$x$ के लिए $u = \cos (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \cos (π)$

चरण 6.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$u_{upper} = - \cos (0)$

चरण 6.5.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

चरण 6.5.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = - 1$

चरण 6.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

चरण 6.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{1}^{- 1} - u^{4} d u)$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (- \int_{1}^{- 1} u^{4} d u))$

चरण 8

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 \int_{1}^{- 1} u^{4} d u)$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} u^{5}$ है.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{- 1}))$

चरण 10

$\frac{1}{5}$ और $u^{5}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{- 1}))$

चरण 11

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$- 1$ पर और $1$ पर $\frac{u^{5}}{5}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5}))$

चरण 11.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$- 1$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

चरण 11.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

चरण 11.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5}))$

चरण 11.2.4

$- \frac{1}{5}$ में से $\frac{1}{5}$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- 2 (\frac{1}{5})))$

चरण 11.2.5

$- 2$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 2}{5}))$

चरण 11.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{2}{5}))$

चरण 11.2.7

$- 1$ को $- 6$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (\frac{2}{5}))$

चरण 11.2.8

$6$ और $\frac{2}{5}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{6 \cdot 2}{5})$

चरण 11.2.9

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{12}{5})$

चरण 12

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{π + 0} \cdot \frac{12}{5}$

चरण 12.2

$π$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot \frac{12}{5}$

चरण 13

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{1}{π}$ को $\frac{12}{5}$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{12}{π \cdot 5}$

चरण 13.2

$5$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$A (x) = \frac{12}{5 π}$

चरण 14