कैलकुलस उदाहरण

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ , $[2, 5]$

चरण 1

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $g (t)$ , $[2, 5]$ पर सतत है या नहीं, $g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

रेडिकैंड को $\sqrt{5 + t^{2}}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$5 + t^{2} \geq 0$

चरण 1.2

$t$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

असमानता के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$t^{2} \geq - 5$

चरण 1.2.2

चूंकि बाईं ओर सम घात है, यह सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सदैव धनात्मक होता है.

सभी वास्तविक संख्या

चरण 1.3

$\frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$\sqrt{5 + t^{2}} = 0$

चरण 1.4

$t$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{5 + t^{2}}}^{2} = 0^{2}$

चरण 1.4.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$\sqrt{5 + t^{2}}$ को ${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 1.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.1

घातांक को ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(5 + t^{2})}^{1} = 0^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.2

सरल करें.

$5 + t^{2} = 0^{2}$

चरण 1.4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$5 + t^{2} = 0$

चरण 1.4.3

$t$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$t^{2} = - 5$

चरण 1.4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

चरण 1.4.3.3

$\pm \sqrt{- 5}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.3.1

$- 5$ को $- 1 (5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

चरण 1.4.3.3.2

$\sqrt{- 1 (5)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ के रूप में फिर से लिखें.

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

चरण 1.4.3.3.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$t = \pm i \sqrt{5}$

चरण 1.4.3.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$t = i \sqrt{5}$

चरण 1.4.3.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$t = - i \sqrt{5}$

चरण 1.4.3.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

चरण 1.5

डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${t | t \in ℝ}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${t | t \in ℝ}$

चरण 2

$g (t)$ $[2, 5]$ पर निरंतर है.

$g (t)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $g$ का औसत मान $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}} d t)$

चरण 5

मान लीजिए $u = 5 + t^{2}$ .फिर $d u = 2 t d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = t d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 5 + t^{2}$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$5 + t^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [5 + t^{2}]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $5 + t^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ है.

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 5.1.3

चूंकि $t$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 5.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 t$

चरण 5.1.5

$0$ और $2 t$ जोड़ें.

$2 t$

चरण 5.2

$t$ के लिए $u = 5 + t^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 5 + 2^{2}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{lower} = 5 + 4$

चरण 5.3.2

$5$ और $4$ जोड़ें.

$u_{lower} = 9$

चरण 5.4

$t$ के लिए $u = 5 + t^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 5 + 5^{2}$

चरण 5.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 5 + 25$

चरण 5.5.2

$5$ और $25$ जोड़ें.

$u_{upper} = 30$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 30$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

चरण 6.2

$2$ को $\sqrt{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

चरण 8

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

चरण 8.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

चरण 8.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

चरण 8.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

चरण 8.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{30})$

चरण 10

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$30$ पर और $9$ पर $2 u^{\frac{1}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot ((2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}))$

चरण 10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

चरण 10.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

चरण 10.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

चरण 10.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

चरण 10.2.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

चरण 10.2.5

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 6))$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

चरण 11.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 (30^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

चरण 11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

चरण 11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

चरण 11.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$- 6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 3)))$

चरण 11.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 3))$

चरण 11.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

चरण 12

$5$ में से $2$ घटाएं.

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

चरण 13

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot 30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

चरण 14

$\frac{1}{3}$ और $30^{\frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

चरण 15

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))$

चरण 15.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

चरण 15.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} - 1$

चरण 16