कैलकुलस उदाहरण

$\sin (x + y) = 2 x - 2 y$ , $(π, π)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = π$ और $y = π$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (2 x - 2 y)$

चरण 1.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = x + y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 1.2.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 1.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + y$ से बदलें.

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 1.2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos (x + y) (1 + y')$

चरण 1.3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 2 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 1.3.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 1.3.2.2

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 1.3.2.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 1.3.3

$\frac{d}{d x} [- 2 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 y$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$2 - 2 \frac{d}{d x} [y]$

चरण 1.3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 - 2 y'$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$\cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

चरण 1.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$\cos (x + y) (1 + y')$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1.1

फिर से लिखें.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

चरण 1.5.1.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$\cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

चरण 1.5.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = 2 - 2 y'$

चरण 1.5.1.1.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1.4.1

$\cos (x + y)$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = 2 - 2 y'$

चरण 1.5.1.1.4.2

गुणनखंडों को $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ में पुन: क्रमित करें.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = 2 - 2 y'$

चरण 1.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 y'$ जोड़ें.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) + 2 y' = 2$

चरण 1.5.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $\cos (x + y)$ घटाएं.

$y' \cos (x + y) + 2 y' = 2 - \cos (x + y)$

चरण 1.5.4

$y' \cos (x + y) + 2 y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.1

$y' \cos (x + y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (\cos (x + y)) + 2 y' = 2 - \cos (x + y)$

चरण 1.5.4.2

$2 y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (\cos (x + y)) + y' \cdot 2 = 2 - \cos (x + y)$

चरण 1.5.4.3

$y' (\cos (x + y)) + y' \cdot 2$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$

चरण 1.5.5

$y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$ के प्रत्येक पद को $\cos (x + y) + 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.5.1

$y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$ के प्रत्येक पद को $\cos (x + y) + 2$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (\cos (x + y) + 2)}{\cos (x + y) + 2} = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

चरण 1.5.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.5.2.1

$\cos (x + y) + 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (\cos (x + y) + 2)}{\cos (x + y) + 2} = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

चरण 1.5.5.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

चरण 1.5.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.5.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

चरण 1.5.5.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{2 - \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

चरण 1.7

$x = π$ और $y = π$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $π$ से बदलें.

$\frac{2 - \cos ((π) + y)}{\cos ((π) + y) + 2}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $π$ से बदलें.

$\frac{2 - \cos (π + π)}{\cos (π + π) + 2}$

चरण 1.7.3

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{2 - \cos (π + π)}{\cos (π + π) + 2}$

चरण 1.7.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.1

$π$ और $π$ जोड़ें.

$\frac{2 - \cos (2 π)}{\cos (π + π) + 2}$

चरण 1.7.4.2

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$\frac{2 - \cos (0)}{\cos (π + π) + 2}$

चरण 1.7.4.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{2 - 1 \cdot 1}{\cos (π + π) + 2}$

चरण 1.7.4.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 - 1}{\cos (π + π) + 2}$

चरण 1.7.4.5

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{\cos (π + π) + 2}$

चरण 1.7.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.5.1

$π$ और $π$ जोड़ें.

$\frac{1}{\cos (2 π) + 2}$

चरण 1.7.5.2

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$\frac{1}{\cos (0) + 2}$

चरण 1.7.5.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{1 + 2}$

चरण 1.7.5.4

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{3}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{1}{3}$ और दिए गए बिंदु $(π, π)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (π) = \frac{1}{3} \cdot (x - (π))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - π = \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{1}{3} \cdot (x - π)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - π = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - π = \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - π = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} (- π)$

चरण 2.3.1.4

$\frac{1}{3}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - π = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} (- π)$

चरण 2.3.1.5

$\frac{1}{3}$ और $π$ को मिलाएं.

$y - π = \frac{x}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $π$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + π$

चरण 2.3.2.2

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

चरण 2.3.2.3

$π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

चरण 2.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- π + π \cdot 3}{3}$

चरण 2.3.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x - π + π \cdot 3}{3}$

चरण 2.3.2.6

$3$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{x - π + 3 π}{3}$

चरण 2.3.2.7

$- π$ और $3 π$ जोड़ें.

$y = \frac{x + 2 π}{3}$

चरण 2.3.2.8

भिन्न $\frac{x + 2 π}{3}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2 π}{3}$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2 π}{3}$

चरण 3