कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{5}}$ , $(- 2, - \frac{1}{2})$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = - 2$ और $y = - \frac{1}{2}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = {(x^{2} - 6)}^{5}$ है.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{({(x^{2} - 6)}^{5})}^{2}}$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

घातांक को ${({(x^{2} - 6)}^{5})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{5 \cdot 2}}$

चरण 1.2.1.2

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.2.3

$4$ को ${(x^{2} - 6)}^{5}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{4 \cdot {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{5}$ और $g (x) = x^{2} - 6$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 6$ के रूप में सेट करें.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 6$ से बदलें.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (5 {(x^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.4.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ है.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.4.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.5.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.4.5.2

$2$ को ${(x^{2} - 6)}^{4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} (2 \cdot {(x^{2} - 6)}^{4} x)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.4.5.3

$2$ को $- 5$ से गुणा करें.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} x)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 (x^{1} x^{4}) {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{1 + 4} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.7

$1$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1.1

$4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}$ में से $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1.1.1

$4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3}$ में से $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.8.1.1.2

$- 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}$ में से $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) + 2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.8.1.1.3

$2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) + 2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 5 x^{2})$ में से $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6) - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.8.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 x^{2} + 2 \cdot - 6 - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.8.1.3

$2$ को $- 6$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 x^{2} - 12 - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.8.1.4

$2 x^{2}$ में से $5 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 3 x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.8.1.5

$- 3 x^{2} - 12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1.5.1

$- 3 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2}) - 12)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.8.1.5.2

$- 12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2}) + 3 (- 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.8.1.5.3

$3 (- x^{2}) + 3 (- 4)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} \cdot 3 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.8.1.6

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{6 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.8.2

${(x^{2} - 6)}^{4}$ और ${(x^{2} - 6)}^{10}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.2.1

$6 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- x^{2} - 4)$ में से ${(x^{2} - 6)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

चरण 1.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.2.2.1

${(x^{2} - 6)}^{10}$ में से ${(x^{2} - 6)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{4} {(x^{2} - 6)}^{6}}$

चरण 1.8.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{4} {(x^{2} - 6)}^{6}}$

चरण 1.8.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{6 x^{3} (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

चरण 1.8.3

$- x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2}) - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

चरण 1.8.4

$- 4$ को $- 1 (4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2}) - 1 (4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

चरण 1.8.5

$- (x^{2}) - 1 (4)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

चरण 1.8.6

$- (x^{2} + 4)$ को $- 1 (x^{2} + 4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{6 x^{3} (- 1 (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

चरण 1.8.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{(6 x^{3}) (x^{2} + 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

चरण 1.9

$x = - 2$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$- \frac{(6 {(- 2)}^{3}) ({(- 2)}^{2} + 4)}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

चरण 1.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.10.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.10.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{6 {(- 2)}^{3} (4 + 4)}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

चरण 1.10.1.2

$4$ और $4$ जोड़ें.

$- \frac{6 {(- 2)}^{3} \cdot 8}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

चरण 1.10.1.3

$8$ को $6$ से गुणा करें.

$- \frac{48 {(- 2)}^{3}}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

चरण 1.10.1.4

$- 2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{48 \cdot - 8}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

चरण 1.10.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.10.2.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{48 \cdot - 8}{{(4 - 6)}^{6}}$

चरण 1.10.2.2

$4$ में से $6$ घटाएं.

$- \frac{48 \cdot - 8}{{(- 2)}^{6}}$

चरण 1.10.2.3

$- 2$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{48 \cdot - 8}{64}$

चरण 1.10.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.10.3.1

$48$ को $- 8$ से गुणा करें.

$- \frac{- 384}{64}$

चरण 1.10.3.2

$- 384$ को $64$ से विभाजित करें.

$- - 6$

चरण 1.10.3.3

$- 1$ को $- 6$ से गुणा करें.

$6$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $6$ और दिए गए बिंदु $(- 2, - \frac{1}{2})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (- \frac{1}{2}) = 6 \cdot (x - (- 2))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y + \frac{1}{2} = 6 \cdot (x + 2)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$6 \cdot (x + 2)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y + \frac{1}{2} = 0 + 0 + 6 \cdot (x + 2)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y + \frac{1}{2} = 6 \cdot (x + 2)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y + \frac{1}{2} = 6 x + 6 \cdot 2$

चरण 2.3.1.4

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$y + \frac{1}{2} = 6 x + 12$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{1}{2}$ घटाएं.

$y = 6 x + 12 - \frac{1}{2}$

चरण 2.3.2.2

$12$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = 6 x + 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 2.3.2.3

$12$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$y = 6 x + \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 2.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = 6 x + \frac{12 \cdot 2 - 1}{2}$

चरण 2.3.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.5.1

$12$ को $2$ से गुणा करें.

$y = 6 x + \frac{24 - 1}{2}$

चरण 2.3.2.5.2

$24$ में से $1$ घटाएं.

$y = 6 x + \frac{23}{2}$

चरण 3