कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चूंकि $32$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$ का व्युत्पन्न $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}]$ है.

$32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}]$

चरण 1.1.1.2

$\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ को ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$32 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 6 x - 7$ के रूप में सेट करें.

$32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

चरण 1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 6 x - 7$ से बदलें.

$32 (- {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

$- 1$ को $32$ से गुणा करें.

$- 32 ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

चरण 1.1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 6 x - 7$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ है.

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

चरण 1.1.3.4

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6 x$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

चरण 1.1.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

चरण 1.1.3.6

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 7])$

चरण 1.1.3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 7$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + 0)$

चरण 1.1.3.8

$2 x - 6$ और $0$ जोड़ें.

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6)$

चरण 1.1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 32 \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

चरण 1.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1.1

$- 32$ और $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

चरण 1.1.5.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

चरण 1.1.5.2

$- \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f' (x) = - (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ है.

$- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 x - 6 = 0$

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

चरण 2.3

$2 x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$2 x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x - 6 = 0$

चरण 2.3.2

$x$ के लिए $2 x - 6 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $6$ जोड़ें.

$2 x = 6$

चरण 2.3.2.2

$2 x = 6$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

$2 x = 6$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

चरण 2.3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

चरण 2.3.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{6}{2}$

चरण 2.3.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.3.1

$6$ को $2$ से विभाजित करें.

$x = 3$

चरण 2.4

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$32 = 0$

चरण 2.4.2.2

$32 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 3$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 6 x - 7$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 7$ है और जिसका योग $- 6$ है.

$- 7, 1$

चरण 3.2.1.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

${((x - 7) (x + 1))}^{2} = 0$

चरण 3.2.1.2

उत्पाद नियम को $(x - 7) (x + 1)$ पर लागू करें.

${(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

चरण 3.2.2

${(x - 7)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

चरण 3.2.3

${(x - 7)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

${(x - 7)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x - 7)}^{2} = 0$

चरण 3.2.3.2

$x$ के लिए ${(x - 7)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.2.1

$x - 7$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 7 = 0$

चरण 3.2.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $7$ जोड़ें.

$x = 7$

चरण 3.2.4

${(x + 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

${(x + 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x + 1)}^{2} = 0$

चरण 3.2.4.2

$x$ के लिए ${(x + 1)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.2.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 3.2.4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 3.2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो ${(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 7, - 1$

चरण 3.3

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x = - 1, x = 7$

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $\frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 3$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$3$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{32}{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 - 7}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{32}{9 - 6 \cdot 3 - 7}$

चरण 4.1.2.1.2

$- 6$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{32}{9 - 18 - 7}$

चरण 4.1.2.1.3

$9$ में से $18$ घटाएं.

$\frac{32}{- 9 - 7}$

चरण 4.1.2.1.4

$- 9$ में से $7$ घटाएं.

$\frac{32}{- 16}$

चरण 4.1.2.2

$32$ को $- 16$ से विभाजित करें.

$- 2$

चरण 4.2

$x = - 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{32}{{(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 7}$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{32}{1 - 6 \cdot - 1 - 7}$

चरण 4.2.2.1.2

$- 6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{32}{1 + 6 - 7}$

चरण 4.2.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1

$1$ और $6$ जोड़ें.

$\frac{32}{7 - 7}$

चरण 4.2.2.2.2

$7$ में से $7$ घटाएं.

$\frac{32}{0}$

चरण 4.2.2.2.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{32}{0}$

चरण 4.2.2.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 4.3

$x = 7$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$7$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{32}{{(7)}^{2} - 6 \cdot 7 - 7}$

चरण 4.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{32}{49 - 6 \cdot 7 - 7}$

चरण 4.3.2.1.2

$- 6$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{32}{49 - 42 - 7}$

चरण 4.3.2.2

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

$49$ में से $42$ घटाएं.

$\frac{32}{7 - 7}$

चरण 4.3.2.2.2

$7$ में से $7$ घटाएं.

$\frac{32}{0}$

चरण 4.3.2.2.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{32}{0}$

चरण 4.3.2.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 4.4

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(3, - 2)$

चरण 5