कैलकुलस उदाहरण

$\cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$

चरण 1

$\cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

चरण 4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \cos (π x) d x + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

चरण 5

मान लीजिए $u_{1} = π x$ .फिर $d u_{1} = π d x$ , तो $\frac{1}{π} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u_{1} = π x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$π x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [π x]$

चरण 5.1.2

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π x$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [x]$ है.

$π \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$π \cdot 1$

चरण 5.1.4

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$π$

चरण 5.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{π} d u_{1} + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

चरण 6

$\cos (u_{1})$ और $\frac{1}{π}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\cos (u_{1})}{π} d u_{1} + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{π}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{π}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{π} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

चरण 8

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{1})$ है.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + \int 6 \sin (\frac{x}{6}) d x$

चरण 9

चूँकि $6$ बटे $x$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (\frac{x}{6}) d x$

चरण 10

मान लीजिए $u_{2} = \frac{x}{6}$ .फिर $d u_{2} = \frac{1}{6} d x$ , तो $6 d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u_{2} = \frac{x}{6}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$\frac{x}{6}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

चरण 10.1.2

चूंकि $\frac{1}{6}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{6}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 10.1.3

$\frac{1}{6} \cdot 1$

चरण 10.1.4

$\frac{1}{6}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6}$

चरण 10.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u_{2}$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{6}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (u_{2}) (1 \cdot 6) d u_{2}$

चरण 11.2

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int \sin (u_{2}) \cdot 6 d u_{2}$

चरण 11.3

$6$ को $\sin (u_{2})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 \int 6 \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 12

चूँकि $6$ बटे $u_{2}$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 6 (6 \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

चरण 13

$6$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 36 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 14

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का इंटीग्रल $- \cos (u_{2})$ है.

$\frac{1}{π} (\sin (u_{1}) + C) + 36 (- \cos (u_{2}) + C)$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

सरल करें.

$\frac{1}{π} \sin (u_{1}) + 36 (- \cos (u_{2})) + C$

चरण 15.2

$- 1$ को $36$ से गुणा करें.

$\frac{1}{π} \sin (u_{1}) - 36 \cos (u_{2}) + C$

चरण 16

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $π x$ से बदलें.

$\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (u_{2}) + C$

चरण 16.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{6}$ से बदलें.

$\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (\frac{x}{6}) + C$

चरण 17

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (\frac{1}{6} x) + C$

चरण 18

उत्तर फलन $f (x) = \cos (π x) + 6 \sin (\frac{x}{6})$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{π} \sin (π x) - 36 \cos (\frac{1}{6} x) + C$