कैलकुलस उदाहरण

$5 e^{2 x} {(e^{2 x} - 5)}^{4}$

चरण 1

$5 e^{2 x} {(e^{2 x} - 5)}^{4}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 5 e^{2 x} {(e^{2 x} - 5)}^{4}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int 5 e^{2 x} {(e^{2 x} - 5)}^{4} d x$

चरण 4

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$5 \int e^{2 x} {(e^{2 x} - 5)}^{4} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u_{2} = e^{2 x} - 5$ .फिर $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u_{2} = e^{2 x} - 5$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$e^{2 x} - 5$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 5]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{2 x} - 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

चरण 5.1.3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

चरण 5.1.3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

चरण 5.1.3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

चरण 5.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]$

चरण 5.1.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

चरण 5.1.3.5

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 5]$

चरण 5.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 e^{2 x} + 0$

चरण 5.1.4.2

$2 e^{2 x}$ और $0$ जोड़ें.

$2 e^{2 x}$

चरण 5.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$5 \int {u_{2}}^{4} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 6

${u_{2}}^{4}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$5 \int \frac{{u_{2}}^{4}}{2} d u_{2}$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$5 (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

चरण 8

$\frac{1}{2}$ और $5$ को मिलाएं.

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{4} d u_{2}$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ है.

$\frac{5}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{5}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C)$ को $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

चरण 10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$\frac{5}{2}$ को $\frac{1}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{5}{2 \cdot 5} {u_{2}}^{5} + C$

चरण 10.2.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{5}{10} {u_{2}}^{5} + C$

चरण 10.2.3

$5$ और $10$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

$5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{5 (1)}{10} {u_{2}}^{5} + C$

चरण 10.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.2.1

$10$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2} {u_{2}}^{5} + C$

चरण 10.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2} {u_{2}}^{5} + C$

चरण 10.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{5} + C$

चरण 11

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $e^{2 x} - 5$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} - 5)}^{5} + C$

चरण 12

उत्तर फलन $f (x) = 5 e^{2 x} {(e^{2 x} - 5)}^{4}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} {(e^{2 x} - 5)}^{5} + C$