कैलकुलस उदाहरण

पहला व्युत्पन्न पता करें.

${\displaystyle f\left(x\right)}$ का पहला व्युत्पन्न बटे ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle 4x+3}$ है.

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

${\displaystyle f\mathrm{<mo>\prime </mo>}\left(x\right)}$ ${\displaystyle [-1,5]}$ पर निरंतर है.

चूंकि ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle 2x^2}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 2\frac{d}{dx}\left[x^2\right]}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=2}$ है.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle 2}$ से गुणा करें.

चूंकि ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle 3x}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 3\frac{d}{dx}\left[x\right]}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=1}$ है.

${\displaystyle 3}$ को ${\displaystyle 1}$ से गुणा करें.

चूंकि ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle -5}$ स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle -5}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 0}$ है.

${\displaystyle 4x+3}$ और ${\displaystyle 0}$ जोड़ें.

व्यंजक को सरल बनाएंं.

${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ और ${\displaystyle c}$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप ${\displaystyle a{x}^2+bx+c}$ का प्रयोग करें.

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

${\displaystyle d=\frac{b}{2a}}$ सूत्र का उपयोग करके ${\displaystyle d}$ का मान पता करें.

${\displaystyle e=c-\frac{b^2}{4a}}$ सूत्र का उपयोग करके ${\displaystyle e}$ का मान पता करें.

${\displaystyle a}$, ${\displaystyle d}$ और ${\displaystyle e}$ के मानों को शीर्ष रूप ${\displaystyle 16{(x+\frac{3}{4})}^2+1}$ में प्रतिस्थापित करें.

मान लें ${\displaystyle u=x+\frac{3}{4}}$. ${\displaystyle \frac{du}{dx}}$ ज्ञात करें.

${\displaystyle x}$ के लिए ${\displaystyle u=x+\frac{3}{4}}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

सरल करें.

${\displaystyle x}$ के लिए ${\displaystyle u=x+\frac{3}{4}}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

सरल करें.

${\displaystyle u_{\text{lower}}}$ और ${\displaystyle u_{\text{upper}}}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

${\displaystyle u}$, ${\displaystyle du}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

${\displaystyle \sqrt{16{\left(\frac{1}{4}\tan \left(t\right)\right)}^2+1}}$ को सरल करें.

सरल करें.

${\displaystyle \frac{1}{2}}$ और ${\displaystyle \ln \left(|\sec \left(t\right)+\tan \left(t\right)|\right){]}_{-\frac{\pi }{4}}^{1.52734543}}$ को मिलाएं.

${\displaystyle \frac{\tan \left(t\right)\sec \left(t\right)}{2}{]}_{-\frac{\pi }{4}}^{1.52734543}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, ${\displaystyle \frac{2}{2}}$ से गुणा करें.

${\displaystyle \frac{\tan \left(t\right)\sec \left(t\right)}{2}{]}_{-\frac{\pi }{4}}^{1.52734543}}$ और ${\displaystyle \frac{2}{2}}$ को मिलाएं.

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle \frac{\tan \left(t\right)\sec \left(t\right)}{2}{]}_{-\frac{\pi }{4}}^{1.52734543}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

${\displaystyle \frac{1}{4}}$ को ${\displaystyle \frac{2\left(\frac{\tan \left(t\right)\sec \left(t\right)}{2}{]}_{-\frac{\pi }{4}}^{1.52734543}\right)+\ln \left(|\sec \left(t\right)+\tan \left(t\right)|\right){]}_{-\frac{\pi }{4}}^{1.52734543}}{2}}$ से गुणा करें.

${\displaystyle 4}$ को ${\displaystyle 2}$ से गुणा करें.

${\displaystyle 1.52734543}$ पर और ${\displaystyle -\frac{\pi }{4}}$ पर ${\displaystyle \frac{\tan \left(t\right)\sec \left(t\right)}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

${\displaystyle 1.52734543}$ पर और ${\displaystyle -\frac{\pi }{4}}$ पर ${\displaystyle \ln \left(|\sec \left(t\right)+\tan \left(t\right)|\right)}$ का मान ज्ञात करें.

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

${\displaystyle 2\pi }$ का पूरा घुमाव तब तक जोड़ें जब तक कि कोण ${\displaystyle 0}$ से बड़ा या उसके बराबर और ${\displaystyle 2\pi }$ से कम न हो जाए.

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा ऋणात्मक है.

${\displaystyle \tan \left(\frac{\pi }{4}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle 1}$ है.

${\displaystyle -1}$ को ${\displaystyle 1}$ से गुणा करें.

${\displaystyle 2\pi }$ का पूरा घुमाव तब तक जोड़ें जब तक कि कोण ${\displaystyle 0}$ से बड़ा या उसके बराबर और ${\displaystyle 2\pi }$ से कम न हो जाए.

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

${\displaystyle \sec \left(\frac{\pi }{4}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}}$ है.

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

${\displaystyle 2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

${\displaystyle --\frac{1}{\sqrt{2}}}$ गुणा करें.

प्रत्येक पद को सरल करें.