कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (4 + x) - \ln (4)}{x}$

चरण 1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (4 + x) - \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (4 + x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.1.2

लघुगणक के अंदर की सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 4 + x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.1.3

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 4 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.1.4

$4$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\ln (4 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.1.5

$\ln (4)$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\ln (4 + lim_{x \to 0} x) - \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\ln (4 + 0) - \ln (4)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{\ln (\frac{4 + 0}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.3.2

$4 + 0$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot 1 + 0}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.3.2.2

$0$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot 1 + 4 \cdot 0}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.3.2.3

$4 \cdot 1 + 4 \cdot 0$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot (1 + 0)}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.3.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.4.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot (1 + 0)}{4 (1)})}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.3.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot (1 + 0)}{4 \cdot 1})}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.3.2.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.3.2.4.4

$1 + 0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.3.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.3.4

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.3

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (4 + x) - \ln (4)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (4 + x) - \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (4 + x) - \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\ln (4 + x) - \ln (4)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\ln (4 + x)] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (4 + x)] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [\ln (4 + x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 4 + x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 + x$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $4 + x$ से बदलें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} \frac{d}{d x} [4 + x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3.6

$\frac{1}{4 + x}$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} + \frac{d}{d x} [- \ln (4)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- \ln (4)$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \ln (4)$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$\frac{1}{4 + x}$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.6

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 4}}{1}$

चरण 4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 4} \cdot 1$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{x + 4}$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 4}$

चरण 5.2

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 4}$

चरण 5.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 4}$

चरण 5.4

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4}$

चरण 5.5

$4$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 4}$

चरण 6

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{0 + 4}$

चरण 7

$0$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{1}{4}$