कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \infty} x \sin (\frac{2 π}{x})$

चरण 1

$x \sin (\frac{2 π}{x})$ को $\frac{\sin (\frac{2 π}{x})}{\frac{1}{x}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{2 π}{x})}{\frac{1}{x}}$

चरण 2

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{2 π}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

चरण 2.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{2 π}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

चरण 2.1.2.1.2

$2 π$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{\sin (2 π lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

चरण 2.1.2.2

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{\sin (2 π \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

चरण 2.1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

$2 π \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1.1

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (0 π)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

चरण 2.1.2.3.1.2

$0$ को $π$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

चरण 2.1.2.3.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

चरण 2.1.3

$\frac{0}{0}$

चरण 2.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{2 π}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 2.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = \frac{2 π}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{2 π}{x}$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 2.3.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 2.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{2 π}{x}$ से बदलें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 2.3.3

चूंकि $2 π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2 π}{x}$ का व्युत्पन्न $2 π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 2.3.4

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 2.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π (- x^{- 2}))}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 2.3.6

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (- 2 π x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 2.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (- 2 π \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 2.3.7.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (\frac{- 2}{x^{2}} π)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 2.3.7.2.2

$\frac{- 2}{x^{2}}$ और $π$ को मिलाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) \frac{- 2 π}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 2.3.7.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (- \frac{2 π}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 2.3.7.2.4

$\cos (\frac{2 π}{x})$ और $\frac{2 π}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 2.3.7.2.5

$2$ को $\cos (\frac{2 π}{x})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 \cos (\frac{2 π}{x}) π}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 2.3.7.3

गुणनखंडों को $- \frac{2 \cos (\frac{2 π}{x}) π}{x^{2}}$ में पुन: क्रमित करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 2.3.8

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

चरण 2.3.9

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{- x^{- 2}}$

चरण 2.3.10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

चरण 2.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}} (- x^{2})$

चरण 2.5

गुणनखंडों को जोड़े.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}} x^{2}$

चरण 2.5.2

$\frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}} x^{2}$

चरण 2.5.3

$\frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

चरण 2.6

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

चरण 2.6.2

$2 π \cos (\frac{2 π}{x})$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to \infty} 2 π \cos (\frac{2 π}{x})$

चरण 3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$2 π$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$2 π lim_{x \to \infty} \cos (\frac{2 π}{x})$

चरण 3.2

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$2 π \cos (lim_{x \to \infty} \frac{2 π}{x})$

चरण 3.3

$2 π$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$2 π \cos (2 π lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

चरण 4

$2 π \cos (2 π \cdot 0)$

चरण 5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2 π \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$2 π \cos (0 π)$

चरण 5.1.2

$0$ को $π$ से गुणा करें.

$2 π \cos (0)$

चरण 5.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 π \cdot 1$

चरण 5.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 π$