कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{3} - 8}{7 x^{5} - 3 x^{2} - 1}$

चरण 1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5} + 4 x^{3} - 8}{lim_{x \to \infty} 7 x^{5} - 3 x^{2} - 1}$

चरण 1.2

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{5} - 3 x^{2} - 1}$

चरण 1.3

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{3} - 8}{7 x^{5} - 3 x^{2} - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} + 4 x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

चरण 3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} + 4 x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{5} + 4 x^{3} - 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

चरण 3.4

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

चरण 3.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

चरण 3.4.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

चरण 3.6

$5 x^{4} + 12 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

चरण 3.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $7 x^{5} - 3 x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.8

$\frac{d}{d x} [7 x^{5}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x^{5}$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{7 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.8.2

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{7 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.8.3

$5$ को $7$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.9

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.9.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.9.3

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.10

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 6 x + 0}$

चरण 3.11

$35 x^{4} - 6 x$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 6 x}$

चरण 4

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $x^{4}$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{4}}{x^{4}} + \frac{12 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$x^{4}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{4}}{x^{4}} + \frac{12 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

चरण 5.1.1.2

$5$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

चरण 5.1.2

$x^{2}$ और $x^{4}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

$12 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x^{2} \cdot 12}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

चरण 5.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.2.1

$x^{4}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x^{2} \cdot 12}{x^{2} x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

चरण 5.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x^{2} \cdot 12}{x^{2} x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

चरण 5.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

चरण 5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$x^{4}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

चरण 5.2.1.2

$35$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

चरण 5.2.2

$x$ और $x^{4}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$- 6 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{x \cdot - 6}{x^{4}}}$

चरण 5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

$x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x^{3}}}$

चरण 5.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x^{3}}}$

चरण 5.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{- 6}{x^{3}}}$

चरण 5.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 - \frac{6}{x^{3}}}$

चरण 5.3

जैसे ही $x$ $\infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{12}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

चरण 5.4

जैसे-जैसे $x$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

चरण 5.5

$5$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

चरण 5.6

$12$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{5 + 12 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

चरण 6

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

चरण 7

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 35 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}$

चरण 7.2

$35$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{35 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}$

चरण 7.3

$6$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{35 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

चरण 8

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{35 - 6 \cdot 0}$

चरण 9

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$12$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{5 + 0}{35 - 6 \cdot 0}$

चरण 9.1.2

$5$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{5}{35 - 6 \cdot 0}$

चरण 9.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$- 6$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{5}{35 + 0}$

चरण 9.2.2

$35$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{5}{35}$

चरण 9.3

$5$ और $35$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{5 (1)}{35}$

चरण 9.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

$35$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 7}$

चरण 9.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 7}$

चरण 9.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{7}$