कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (9 x)}{x}$

चरण 1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0} \arcsin (9 x)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $\arcsin (9 x)$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\arcsin (9 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.2

$9$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{\arcsin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.2.3

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

चरण 1.3

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (9 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (9 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (9 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arcsin (x)$ और $g (x) = 9 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $9 x$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.2.2

$u$ के संबंध में $\arcsin (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $9 x$ से बदलें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(9 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3

$9 x$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(9 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.4

उत्पाद नियम को $9 (x)$ पर लागू करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - (9^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.5

$9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - (81 x^{2})}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.6

$81$ को $- 1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.7

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 x$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.8

$9$ और $\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.10

$\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.11

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}}{1}$

चरण 4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \cdot 1$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

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चरण 5.1

$\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

चरण 5.2

$9$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$9 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

चरण 5.3

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$9 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

चरण 5.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

चरण 5.5

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$9 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - 81 x^{2}}}$

चरण 5.6

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$9 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 81 x^{2}}}$

चरण 5.7

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} 81 x^{2}}}$

चरण 5.8

$81$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 lim_{x \to 0} x^{2}}}$

चरण 5.9

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

चरण 6

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 \cdot 0^{2}}}$

चरण 7

उत्तर को सरल करें.

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चरण 7.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 \cdot 0}}$

चरण 7.1.2

$- 81$ को $0$ से गुणा करें.

$9 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

चरण 7.1.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$9 \frac{1}{\sqrt{1}}$

चरण 7.1.4

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$9 (\frac{1}{1})$

चरण 7.2

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 7.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$9 (\frac{1}{1})$

चरण 7.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$9 \cdot 1$

चरण 7.3

$9$ को $1$ से गुणा करें.

$9$