कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}}$

चरण 1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

चरण 1.2

चूँकि घातांक $x$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $2^{x}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

चरण 1.3

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $2$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2 x}$

चरण 4

$2^{x}$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2^{x} \ln (2)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 x}$

चरण 4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 (x)}$

चरण 4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 x}$

चरण 4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln (2)}{x}$

चरण 5

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x - 1} \ln (2)}{lim_{x \to \infty} x}$

चरण 5.1.2

चूँकि फलन $2^{x - 1}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए फलन का धनात्मक स्थिरांक $\ln (2)$ गुना भी $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

सतत एकाधिक $\ln (2)$ हटाई गई लिमिट पर विचार करें.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x - 1}}{lim_{x \to \infty} x}$

चरण 5.1.2.2

चूँकि घातांक $x - 1$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $2^{x - 1}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

चरण 5.1.3

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 5.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln (2)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x - 1} \ln (2)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 5.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x - 1} \ln (2)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 5.3.2

चूंकि $\ln (2)$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2^{x - 1} \ln (2)$ का व्युत्पन्न $\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x - 1}]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 5.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = 2^{x}$ और $g (x) = x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 1$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 5.3.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $2$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 5.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (2^{x - 1} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 5.3.4

$\ln (2)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} (\ln^{1} (2) \ln (2)) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 5.3.5

$\ln (2)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} (\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 5.3.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} {\ln (2)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 5.3.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 5.3.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 5.3.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 5.3.10

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 5.3.11

$1$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 5.3.12

$2^{x - 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2)}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 5.3.13

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2)}{1}$

चरण 5.4

$2^{x - 1} \ln^{2} (2)$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to \infty} 2^{x - 1} \ln^{2} (2)$

चरण 6

चूँकि फलन $2^{x - 1}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए फलन का धनात्मक स्थिरांक $\ln^{2} (2)$ गुना भी $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

सतत एकाधिक $\ln^{2} (2)$ हटाई गई लिमिट पर विचार करें.

$lim_{x \to \infty} 2^{x - 1}$

चरण 6.2

$\infty$