कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \frac{4 x}{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{4 x}{3}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

चरण 1.1.1.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

चरण 1.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{4 x}{3}$ से बदलें.

$- \sin (\frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $\frac{4}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4 x}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \sin (\frac{4 x}{3}) (\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.2.2

$\frac{4}{3}$ और $\sin (\frac{4 x}{3})$ को मिलाएं.

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \cdot 1$

चरण 1.1.2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ है.

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 2.3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 2.3.1.2.1.2

$\sin (\frac{4 x}{3})$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (\frac{4 x}{3}) = \frac{0}{4}$

चरण 2.3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.3.1

$0$ को $4$ से विभाजित करें.

$\sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

चरण 2.3.2

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$\frac{4 x}{3} = \arcsin (0)$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{4 x}{3} = 0$

चरण 2.3.4

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$4 x = 0$

चरण 2.3.5

$4 x = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$4 x = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 2.3.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 2.3.5.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{4}$

चरण 2.3.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.3.1

$0$ को $4$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 2.3.6

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$\frac{4 x}{3} = π - 0$

चरण 2.3.7

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $\frac{3}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

चरण 2.3.7.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.1.1

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.1.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.1.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

चरण 2.3.7.2.1.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

चरण 2.3.7.2.1.1.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.1.1.2.1

$4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} (4 (x)) = \frac{3}{4} (π - 0)$

चरण 2.3.7.2.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

चरण 2.3.7.2.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{3}{4} (π - 0)$

चरण 2.3.7.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.2.1

$\frac{3}{4} (π - 0)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.2.1.1

$π$ में से $0$ घटाएं.

$x = \frac{3}{4} π$

चरण 2.3.7.2.2.1.2

$\frac{3}{4}$ और $π$ को मिलाएं.

$x = \frac{3 π}{4}$

चरण 2.3.8

$\sin (\frac{4 x}{3})$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 2.3.8.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $\frac{4}{3}$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} |}$

चरण 2.3.8.3

$\frac{4}{3}$ लगभग $1.\overline{3}$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{2 π}{\frac{4}{3}}$

चरण 2.3.8.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$2 π \frac{3}{4}$

चरण 2.3.8.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.5.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (π) \frac{3}{4}$

चरण 2.3.8.5.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (π) \frac{3}{2 (2)}$

चरण 2.3.8.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 π \frac{3}{2 \cdot 2}$

चरण 2.3.8.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$π \frac{3}{2}$

चरण 2.3.8.6

$π$ और $\frac{3}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{π \cdot 3}{2}$

चरण 2.3.8.7

$3$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 π}{2}$

चरण 2.3.9

$\sin (\frac{4 x}{3})$ फलन की अवधि $\frac{3 π}{2}$ है, इसलिए मान प्रत्येक $\frac{3 π}{2}$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{3 π n}{2}, \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.4

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{3 π n}{4}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{3 π n}{4}$ हैं.

$\frac{3 π n}{4}$

चरण 4

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$ है.

$(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3 π n}{4} - 1$ से बदलें.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1)}{3})}{3}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}{3})}{3}$

चरण 5.2.1.2

$- 1$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

चरण 5.2.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

चरण 5.2.1.4

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 4}{4})}{3})}{3}$

चरण 5.2.2

$4$ और $\frac{3 π n - 4}{4}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

चरण 5.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{4 (3 π n - 4)}{4}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

चरण 5.2.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n - 4}{1}}{3})}{3}$

चरण 5.2.3.2

$3 π n - 4$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

चरण 5.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ है.

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

चरण 5.3

$x = \frac{3 π n}{4} - 1$ पर व्युत्पन्न $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3 π n}{4} + 1$ से बदलें.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + 1)}{3})}{3}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{4}{4})}{3})}{3}$

चरण 6.2.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n + 4}{4})}{3})}{3}$

चरण 6.2.2

$4$ और $\frac{3 π n + 4}{4}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

चरण 6.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{4 (3 π n + 4)}{4}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

चरण 6.2.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n + 4}{1}}{3})}{3}$

चरण 6.2.3.2

$3 π n + 4$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ है.

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

चरण 6.3

$x = \frac{3 π n}{4} + 1$ पर व्युत्पन्न $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 7

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, \frac{3 π n}{4}), (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

चरण 8