कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{4}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

चरण 1.1.2.3

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 20$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 20 x^{3}$ का व्युत्पन्न $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$12 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$12 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

चरण 1.1.3.3

$3$ को $- 20$ से गुणा करें.

$12 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $42$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $42 x^{2}$ का व्युत्पन्न $42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 42 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 42 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

चरण 1.1.4.3

$2$ को $42$ से गुणा करें.

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

चरण 1.1.5

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

चूंकि $- 36$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 36 x$ का व्युत्पन्न $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 \cdot 1$

चरण 1.1.5.3

$- 36$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$ है.

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$12 x^{3}$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{3}) - 60 x^{2} + 84 x - 36 = 0$

चरण 2.2.1.2

$- 60 x^{2}$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{3}) + 12 (- 5 x^{2}) + 84 x - 36 = 0$

चरण 2.2.1.3

$84 x$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{3}) + 12 (- 5 x^{2}) + 12 (7 x) - 36 = 0$

चरण 2.2.1.4

$- 36$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 x^{3} + 12 (- 5 x^{2}) + 12 (7 x) + 12 \cdot - 3 = 0$

चरण 2.2.1.5

$12 x^{3} + 12 (- 5 x^{2})$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{3} - 5 x^{2}) + 12 (7 x) + 12 \cdot - 3 = 0$

चरण 2.2.1.6

$12 (x^{3} - 5 x^{2}) + 12 (7 x)$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{3} - 5 x^{2} + 7 x) + 12 \cdot - 3 = 0$

चरण 2.2.1.7

$12 (x^{3} - 5 x^{2} + 7 x) + 12 \cdot - 3$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$12 (x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3) = 0$

चरण 2.2.2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

चरण 2.2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 3$

चरण 2.2.2.3

$1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.3.1

$1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 3$

चरण 2.2.2.3.2

$1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 5 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 3$

चरण 2.2.2.3.3

$1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 5 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 3$

चरण 2.2.2.3.4

$- 5$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - 5 + 7 \cdot 1 - 3$

चरण 2.2.2.3.5

$1$ में से $5$ घटाएं.

$- 4 + 7 \cdot 1 - 3$

चरण 2.2.2.3.6

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 + 7 - 3$

चरण 2.2.2.3.7

$- 4$ और $7$ जोड़ें.

$3 - 3$

चरण 2.2.2.3.8

$3$ में से $3$ घटाएं.

$0$

चरण 2.2.2.4

चूँकि $1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3}{x - 1}$

चरण 2.2.2.5

$x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3$ को $x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$7 x$

$3$

चरण 2.2.2.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$

चरण 2.2.2.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 2.2.2.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 2.2.2.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

चरण 2.2.2.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$

चरण 2.2.2.5.7

भाज्य $- 4 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$

चरण 2.2.2.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

चरण 2.2.2.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 4 x^{2} + 4 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

चरण 2.2.2.5.10

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$

चरण 2.2.2.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$	-	$3$

चरण 2.2.2.5.12

भाज्य $3 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$	-	$3$

चरण 2.2.2.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	-	$3$

चरण 2.2.2.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 x - 3$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$

चरण 2.2.2.5.15

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$
										$0$

चरण 2.2.2.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 4 x + 3$

चरण 2.2.2.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3$ लिखें.

$12 ((x - 1) (x^{2} - 4 x + 3)) = 0$

चरण 2.2.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 4 x + 3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 4 x + 3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $3$ है और जिसका योग $- 4$ है.

$- 3, - 1$

चरण 2.2.3.1.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$12 ((x - 1) ((x - 3) (x - 1))) = 0$

चरण 2.2.3.1.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$12 ((x - 1) (x - 3) (x - 1)) = 0$

चरण 2.2.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$12 (x - 1) (x - 3) (x - 1) = 0$

चरण 2.2.4

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$x - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$12 ((x - 1) (x - 1)) (x - 3) = 0$

चरण 2.2.4.2

$x - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$12 ((x - 1) (x - 1)) (x - 3) = 0$

चरण 2.2.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$12 {(x - 1)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

चरण 2.2.4.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$12 {(x - 1)}^{2} (x - 3) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

चरण 2.4

${(x - 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

${(x - 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x - 1)}^{2} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए ${(x - 1)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 2.4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 2.5

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $12 {(x - 1)}^{2} (x - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1, 3$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $1, 3$ हैं.

$1, 3$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 1)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = 12 {(0)}^{3} - 60 {(0)}^{2} + 84 (0) - 36$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = 12 \cdot 0 - 60 {(0)}^{2} + 84 (0) - 36$

चरण 5.2.1.2

$12$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = 0 - 60 {(0)}^{2} + 84 (0) - 36$

चरण 5.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = 0 - 60 \cdot 0 + 84 (0) - 36$

चरण 5.2.1.4

$- 60$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = 0 + 0 + 84 (0) - 36$

चरण 5.2.1.5

$84$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 36$

चरण 5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f' (0) = 0 + 0 - 36$

चरण 5.2.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f' (0) = 0 - 36$

चरण 5.2.2.3

$0$ में से $36$ घटाएं.

$f' (0) = - 36$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 36$ है.

$- 36$

चरण 5.3

$x = 0$ पर व्युत्पन्न $- 36$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, 1)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, 1)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(1, 3)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = 12 {(2)}^{3} - 60 {(2)}^{2} + 84 (2) - 36$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = 12 \cdot 8 - 60 {(2)}^{2} + 84 (2) - 36$

चरण 6.2.1.2

$12$ को $8$ से गुणा करें.

$f' (2) = 96 - 60 {(2)}^{2} + 84 (2) - 36$

चरण 6.2.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = 96 - 60 \cdot 4 + 84 (2) - 36$

चरण 6.2.1.4

$- 60$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (2) = 96 - 240 + 84 (2) - 36$

चरण 6.2.1.5

$84$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = 96 - 240 + 168 - 36$

चरण 6.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$96$ में से $240$ घटाएं.

$f' (2) = - 144 + 168 - 36$

चरण 6.2.2.2

$- 144$ और $168$ जोड़ें.

$f' (2) = 24 - 36$

चरण 6.2.2.3

$24$ में से $36$ घटाएं.

$f' (2) = - 12$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 12$ है.

$- 12$

चरण 6.3

$x = 2$ पर व्युत्पन्न $- 12$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(1, 3)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(1, 3)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(3, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f' (4) = 12 {(4)}^{3} - 60 {(4)}^{2} + 84 (4) - 36$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (4) = 12 \cdot 64 - 60 {(4)}^{2} + 84 (4) - 36$

चरण 7.2.1.2

$12$ को $64$ से गुणा करें.

$f' (4) = 768 - 60 {(4)}^{2} + 84 (4) - 36$

चरण 7.2.1.3

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (4) = 768 - 60 \cdot 16 + 84 (4) - 36$

चरण 7.2.1.4

$- 60$ को $16$ से गुणा करें.

$f' (4) = 768 - 960 + 84 (4) - 36$

चरण 7.2.1.5

$84$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (4) = 768 - 960 + 336 - 36$

चरण 7.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$768$ में से $960$ घटाएं.

$f' (4) = - 192 + 336 - 36$

चरण 7.2.2.2

$- 192$ और $336$ जोड़ें.

$f' (4) = 144 - 36$

चरण 7.2.2.3

$144$ में से $36$ घटाएं.

$f' (4) = 108$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $108$ है.

$108$

चरण 7.3

$x = 4$ पर व्युत्पन्न $108$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(3, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(3, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(3, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, 1), (1, 3)$

चरण 9