कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चूंकि $20$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ का व्युत्पन्न $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$ है.

$20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$

चरण 1.1.1.2

$\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ को ${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$20 \frac{d}{d x} [{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = 1 + 9 e^{- 3 x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $1 + 9 e^{- 3 x}$ के रूप में सेट करें.

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $1 + 9 e^{- 3 x}$ से बदलें.

$20 (- {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

$- 1$ को $20$ से गुणा करें.

$- 20 ({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

चरण 1.1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + 9 e^{- 3 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ है.

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

चरण 1.1.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

चरण 1.1.3.4

$0$ और $\frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ जोड़ें.

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$

चरण 1.1.3.5

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 e^{- 3 x}$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ है.

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

चरण 1.1.3.6

$9$ को $- 20$ से गुणा करें.

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

चरण 1.1.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- 3 x$ के रूप में सेट करें.

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

चरण 1.1.4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

चरण 1.1.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- 3 x$ से बदलें.

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

चरण 1.1.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 1.1.5.2

$- 3$ को $- 180$ से गुणा करें.

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

चरण 1.1.5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \cdot 1)$

चरण 1.1.5.4

$e^{- 3 x}$ को $1$ से गुणा करें.

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$

चरण 1.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$540 e^{- 3 x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2}$

चरण 1.1.6.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

चरण 1.1.6.3

$540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.3.1

$\frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ और $540$ को मिलाएं.

$\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} e^{- 3 x}$

चरण 1.1.6.3.2

$\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ और $e^{- 3 x}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ है.

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$540 e^{- 3 x} = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (540 e^{- 3 x}) = \ln (0)$

चरण 2.3.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 2.3.3

$540 e^{- 3 x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 3

मूल समस्या के डोमेन में $x$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

कोई क्रांतिक बिंदु नहीं मिला

चरण 4

कोई भी संख्या व्युत्पन्न $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित नहीं बनाता है. $f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ बढ़ रहा है या घट रहा है, यह जांचने के लिए अंतराल $(- \infty, \infty)$ है.

$(- \infty, \infty)$

चरण 5

परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है या नहीं, यह जांचने के लिए व्युत्पन्न $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ में अंतराल $(- \infty, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $1$ प्रतिस्थापित करें. यदि परिणाम ऋणात्मक है, तो अंतराल $(- \infty, \infty)$ पर ग्राफ घट रहा है. यदि परिणाम धनात्मक है, तो अंतराल $(- \infty, \infty)$ पर ग्राफ बढ़ रहा है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = \frac{540 e^{- 3 \cdot 1}}{{(1 + 9 e^{- 3 \cdot 1})}^{2}}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $e^{- 3 \cdot 1}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3})}^{2} e^{3}}$

चरण 5.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + 9 (\frac{1}{e^{3}}))}^{2} e^{3}}$

चरण 5.2.2.2

$9$ और $\frac{1}{e^{3}}$ को मिलाएं.

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + \frac{9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

चरण 5.2.2.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f' (1) = \frac{540}{{(\frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

चरण 5.2.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (1) = \frac{540}{{(\frac{e^{3} + 9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

चरण 5.2.2.5

उत्पाद नियम को $\frac{e^{3} + 9}{e^{3}}$ पर लागू करें.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{{(e^{3})}^{2}} \cdot e^{3}}$

चरण 5.2.2.6

घातांक को ${(e^{3})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.6.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3 \cdot 2}} \cdot e^{3}}$

चरण 5.2.2.6.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}} \cdot e^{3}}$

चरण 5.2.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}}$ और $e^{3}$ को मिलाएं.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}}{e^{6}}}$

चरण 5.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{{(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}}{e^{6}}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.1

${(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}$ में से $e^{3}$ का गुणनखंड करें.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}}}$

चरण 5.2.3.2.2

$e^{6}$ में से $e^{3}$ का गुणनखंड करें.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3} e^{3}}}$

चरण 5.2.3.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3} e^{3}}}$

चरण 5.2.3.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3}}}$

चरण 5.2.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f' (1) = 540 (\frac{e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}})$

चरण 5.2.5

$540$ और $\frac{e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ को मिलाएं.

$f' (1) = \frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$

चरण 5.2.6

अंतिम उत्तर $\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ है.

$\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$

चरण 6

$1$ को $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ में बदलने का परिणाम $\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ है, जो धनात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, \infty)$ पर ग्राफ बढ़ रहा है.

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} > 0$ के बाद से $(- \infty, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

अंतराल $(- \infty, \infty)$ के ऊपर बढ़ने का अर्थ है कि फलन हमेशा बढ़ रहा है.

हमेशा बढ़ता हुआ

चरण 8