कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{2} + 16}{x}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2} + 16$ और $g (x) = x$ है.

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 16$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ है.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [16]) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.1.2.4

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.1.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.1.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.1.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.1.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.1.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16) \cdot 1}{x^{2}}$

चरण 1.1.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 16)}{x^{2}}$

चरण 1.1.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 16}{x^{2}}$

चरण 1.1.9.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.9.2.1

$- 1$ को $16$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 16}{x^{2}}$

चरण 1.1.9.2.2

$2 x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{x^{2} - 16}{x^{2}}$

चरण 1.1.9.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.9.3.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{2}}$

चरण 1.1.9.3.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 4$ .

$f' (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}$ है.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$(x + 4) (x - 4) = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

चरण 2.3.2

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 2.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 2.3.3

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 2.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 2.3.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 4) (x - 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 4, 4$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $- 4, 4$ हैं.

$- 4, 4$

चरण 4

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{2} = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 4.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 4.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 4)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 5$ से बदलें.

$f' (- 5) = \frac{((- 5) + 4) ((- 5) - 4)}{{(- 5)}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 5$ और $4$ जोड़ें.

$f' (- 5) = \frac{- 1 (- 5 - 4)}{{(- 5)}^{2}}$

चरण 6.2.1.2

$- 5$ में से $4$ घटाएं.

$f' (- 5) = \frac{- 1 \cdot - 9}{{(- 5)}^{2}}$

चरण 6.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 5) = \frac{- 1 \cdot - 9}{25}$

चरण 6.2.2.2

$- 1$ को $- 9$ से गुणा करें.

$f' (- 5) = \frac{9}{25}$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{9}{25}$ है.

$\frac{9}{25}$

चरण 6.3

$x = - 5$ पर व्युत्पन्न $\frac{9}{25}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, - 4)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 4)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 4, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = \frac{((- 2) + 4) ((- 2) - 4)}{{(- 2)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$- 2$ और $4$ जोड़ें.

$f' (- 2) = \frac{2 (- 2 - 4)}{{(- 2)}^{2}}$

चरण 7.2.1.2

$- 2$ में से $4$ घटाएं.

$f' (- 2) = \frac{2 \cdot - 6}{{(- 2)}^{2}}$

चरण 7.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2) = \frac{2 \cdot - 6}{4}$

चरण 7.2.2.2

$2$ को $- 6$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = \frac{- 12}{4}$

चरण 7.2.2.3

$- 12$ को $4$ से विभाजित करें.

$f' (- 2) = - 3$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $- 3$ है.

$- 3$

चरण 7.3

$x = - 2$ पर व्युत्पन्न $- 3$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- 4, 0)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- 4, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, 4)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = \frac{((2) + 4) ((2) - 4)}{{(2)}^{2}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$2$ और $4$ जोड़ें.

$f' (2) = \frac{6 (2 - 4)}{2^{2}}$

चरण 8.2.1.2

$2$ में से $4$ घटाएं.

$f' (2) = \frac{6 \cdot - 2}{2^{2}}$

चरण 8.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = \frac{6 \cdot - 2}{4}$

चरण 8.2.2.2

$6$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f' (2) = \frac{- 12}{4}$

चरण 8.2.2.3

$- 12$ को $4$ से विभाजित करें.

$f' (2) = - 3$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $- 3$ है.

$- 3$

चरण 8.3

$x = 2$ पर व्युत्पन्न $- 3$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, 4)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, 4)$ पर घटता हुआ

चरण 9

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(4, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक में चर $x$ को $5$ से बदलें.

$f' (5) = \frac{((5) + 4) ((5) - 4)}{{(5)}^{2}}$

चरण 9.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

$5$ और $4$ जोड़ें.

$f' (5) = \frac{9 (5 - 4)}{5^{2}}$

चरण 9.2.1.2

$5$ में से $4$ घटाएं.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 1}{5^{2}}$

चरण 9.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 1}{25}$

चरण 9.2.2.2

$9$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (5) = \frac{9}{25}$

चरण 9.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{9}{25}$ है.

$\frac{9}{25}$

चरण 9.3

$x = 5$ पर व्युत्पन्न $\frac{9}{25}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(4, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(4, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 10

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, - 4), (4, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- 4, 0), (0, 4)$

चरण 11