कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = e^{2 x - 4}$

चरण 1

$f (x) = e^{2 x - 4}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = e^{2 x - 4}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = e^{2 y - 4}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $e^{2 y - 4} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{2 y - 4} = x$

चरण 3.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{2 y - 4}) = \ln (x)$

चरण 3.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$2 y - 4$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{2 y - 4})$ का प्रसार करें.

$(2 y - 4) \ln (e) = \ln (x)$

चरण 3.3.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$(2 y - 4) \cdot 1 = \ln (x)$

चरण 3.3.3

$2 y - 4$ को $1$ से गुणा करें.

$2 y - 4 = \ln (x)$

चरण 3.4

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$2 y = \ln (x) + 4$

चरण 3.5

$2 y = \ln (x) + 4$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$2 y = \ln (x) + 4$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{4}{2}$

चरण 3.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{4}{2}$

चरण 3.5.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{4}{2}$

चरण 3.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$4$ को $2$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (x)}{2} + 2$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + 2$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + 2$ , $f (x) = e^{2 x - 4}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (e^{2 x - 4})$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{\ln (e^{2 x - 4})}{2} + 2$

चरण 5.2.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$2 x - 4$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{2 x - 4})$ का प्रसार करें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{(2 x - 4) \ln (e)}{2} + 2$

चरण 5.2.3.2

$2 x - 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.1

$(2 x - 4) \ln (e)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{2 ((x - 2) \ln (e))}{2} + 2$

चरण 5.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{2 ((x - 2) \ln (e))}{2 (1)} + 2$

चरण 5.2.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{2 ((x - 2) \ln (e))}{2 \cdot 1} + 2$

चरण 5.2.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{(x - 2) \ln (e)}{1} + 2$

चरण 5.2.3.2.2.4

$(x - 2) \ln (e)$ को $1$ से विभाजित करें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = (x - 2) \ln (e) + 2$

चरण 5.2.3.3

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

चरण 5.2.3.4

$x - 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = x - 2 + 2$

चरण 5.2.4

$x - 2 + 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = x + 0$

चरण 5.2.4.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (\frac{\ln (x)}{2} + 2)$ का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + 2) - 4}$

चरण 5.3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1

$\frac{\ln (x)}{2}$ को $\frac{1}{2} \ln (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + 2) - 4}$

चरण 5.3.3.1.2

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (x)$ को सरल करें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2) - 4}$

चरण 5.3.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 2 - 4}$

चरण 5.3.3.3

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ को सरल करें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 \cdot 2 - 4}$

चरण 5.3.3.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 - 4}$

चरण 5.3.3.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.5.1

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.5.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 - 4}$

चरण 5.3.3.5.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.5.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 - 4}$

चरण 5.3.3.5.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x^{1}) + 4 - 4}$

चरण 5.3.3.5.2

सरल करें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x) + 4 - 4}$

चरण 5.3.4

$\ln (x) + 4 - 4$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$4$ में से $4$ घटाएं.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x) + 0}$

चरण 5.3.4.2

$\ln (x)$ और $0$ जोड़ें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x)}$

चरण 5.3.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + 2$ , $f (x) = e^{2 x - 4}$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + 2$