कैलकुलस उदाहरण

$f (x, y) = x + \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

चरण 1

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$

चरण 2

सभी अभिव्यक्तियों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$f (x, y) - x = \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{4}{x}$ घटाएं.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} = - y - \frac{9}{y} + 10$

चरण 2.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $y$ जोड़ें.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y = - \frac{9}{y} + 10$

चरण 2.4

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{9}{y}$ जोड़ें.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} = 10$

चरण 2.5

समीकरण के दोनों पक्षों से $10$ घटाएं.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$

चरण 3

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ है.

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

चरण 3.2

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $f$ को गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

चरण 3.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

चरण 3.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{4}{x}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

चरण 3.4.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

चरण 3.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

चरण 3.4.4

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

चरण 3.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

चरण 3.5.2

चूंकि $x$ के संबंध में $\frac{9}{y}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{9}{y}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 10]$

चरण 3.5.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 10$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 10$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + 0$

चरण 3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 \frac{1}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

चरण 3.6.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

$4$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

चरण 3.6.2.2

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0$

चरण 3.6.2.3

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0$

चरण 3.6.2.4

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$

चरण 3.6.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1$

चरण 4

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4}{x^{2}}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ है.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ को ${(x^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$f'' (x) = 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.2.5

घातांक को ${(x^{2})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.2.5.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.2.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.2.7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.2.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.2.9

$1$ में से $4$ घटाएं.

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.2.10

$- 2$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.3

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$d$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.3.2

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $\frac{1}{x}$ को गुणा करें.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.3.3

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.1

$f x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.3.3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.3.3.2

$\frac{1}{x} (f y)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.1

$f$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.3.3.2.2

$\frac{f}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

चरण 4.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 8 \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

चरण 4.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1

$- 8$ और $\frac{1}{x^{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{- 8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

चरण 4.5.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

चरण 4.5.2.3

$- \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

चरण 5

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1 = 0$

चरण 6

चूंकि $x$ का कोई मान नहीं है जो पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाता है, इसलिए कोई स्थानीय एक्स्ट्रेमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 7

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 8