कैलकुलस उदाहरण

$f (x, y) = x y + y - 16 x$

चरण 1

$f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = f (x, y) - x y - y + 16 x$

चरण 2

सभी अभिव्यक्तियों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y$ घटाएं.

$f (x, y) - x y = y - 16 x$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y$ घटाएं.

$f (x, y) - x y - y = - 16 x$

चरण 2.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $16 x$ जोड़ें.

$f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$

चरण 3

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $f (x, y) - x y - y + 16 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

चरण 3.2

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $f$ को गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $- y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x y$ का व्युत्पन्न $- y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

चरण 3.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

चरण 3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

चरण 3.5

$\frac{d}{d x} [16 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

चूंकि $16$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $16 x$ का व्युत्पन्न $16 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.5.2

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

चरण 3.5.3

$16$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

चरण 3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

चरण 3.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

चरण 4

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [16]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

चरण 4.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $- y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

चरण 4.2

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$d$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

चरण 4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

चरण 4.2.2

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $\frac{1}{x}$ को गुणा करें.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

चरण 4.2.3

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1.1

$f x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

चरण 4.2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

चरण 4.2.3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

चरण 4.2.3.2

$\frac{1}{x} (f y)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.2.1

$f$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (16)$

चरण 4.2.3.2.2

$\frac{f}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (16)$

चरण 4.3

चूंकि $x$ के संबंध में $16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

चरण 4.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$0$ और $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

चरण 4.4.2

$\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

चरण 5

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

चरण 6

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

चरण 6.1.2

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $f$ को गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

चरण 6.1.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

चूंकि $- y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x y$ का व्युत्पन्न $- y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

चरण 6.1.3.2

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

चरण 6.1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

चरण 6.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

चरण 6.1.5

$\frac{d}{d x} [16 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.5.1

चूंकि $16$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $16 x$ का व्युत्पन्न $16 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.1.5.2

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

चरण 6.1.5.3

$16$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

चरण 6.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.6.1

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

चरण 6.1.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = - y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

चरण 6.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ है.

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$

चरण 7

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

चरण 7.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$d$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- y + \frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

चरण 7.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- y + \frac{1}{x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

चरण 7.2.2

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $\frac{1}{x}$ को गुणा करें.

$- y + (\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

चरण 7.2.3

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.1

$f x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

चरण 7.2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

चरण 7.2.3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- y + (f, \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

चरण 7.2.3.2

$\frac{1}{x} (f y)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.2.1

$f$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$- y + (f, \frac{f}{x} y) + 16 = 0$

चरण 7.2.3.2.2

$\frac{f}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$- y + (f, \frac{f y}{x}) + 16 = 0$

चरण 7.3

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $y$ जोड़ें.

$(f, \frac{f y}{x}) + 16 = y$

चरण 7.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $16$ घटाएं.

$(f, \frac{f y}{x}) = y - 16$

चरण 8

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{d}{d x}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$d x = 0$

चरण 8.2

$d x = 0$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$d x = 0$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

चरण 8.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

चरण 8.2.2.1.2

$d$ को $1$ से विभाजित करें.

$d = \frac{0}{x}$

चरण 8.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

$0$ को $x$ से विभाजित करें.

$d = 0$

चरण 8.3

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$y = 0$

चरण 9

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = 0$

चरण 10

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

चरण 11

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$d$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

चरण 11.2

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 12

चूँकि पहला व्युत्पन्न परीक्षण विफल रहा, इसलिए कोई स्थानीय एक्सट्रीमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 13