कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x + 5}{\sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x - 3$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x - 3$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$x - 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{u + 3 + 5}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

चरण 2

$3$ और $5$ जोड़ें.

$\int \frac{u + 8}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

चरण 3

मान लीजिए $u = 3 \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d u = 3 \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $3 \cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4

पदों को सरल करें.

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चरण 4.1

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ को सरल करें.

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चरण 4.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 4.1.1.1

उत्पाद नियम को $3 \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.1.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.1.3

$9$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.2

$9$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.3

$- 9 \sin^{2} (t)$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.4

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ को ${(3 \cos (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.2

$3 \cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int 3 \sin (t) + 8 d t$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 8 d t$

चरण 6

चूँकि $3$ बटे $t$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int \sin (t) d t + \int 8 d t$

चरण 7

$t$ के संबंध में $\sin (t)$ का इंटीग्रल $- \cos (t)$ है.

$3 (- \cos (t) + C) + \int 8 d t$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$3 (- \cos (t) + C) + 8 t + C$

चरण 9

सरल करें.

$- 3 \cos (t) + 8 t + C$

चरण 10

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

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चरण 10.1

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (\frac{u}{3})$ से बदलें.

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{u}{3})) + 8 \arcsin (\frac{u}{3}) + C$

चरण 10.2

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 3$ से बदलें.

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{x - 3}{3})) + 8 \arcsin (\frac{x - 3}{3}) + C$

चरण 11

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{1}{3} (x - 3))) + 8 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 3)) + C$