कैलकुलस उदाहरण

$\ln (x^{2} - 4 x + 29)$

चरण 1

$\ln (x^{2} - 4 x + 29)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2} - 4 x + 29$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 4 x + 29$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

चरण 2.1.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

चरण 2.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 4 x + 29$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 4 x + 29$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29]$ है.

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])$

चरण 2.1.2.3

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [29])$

चरण 2.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [29])$

चरण 2.1.2.5

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [29])$

चरण 2.1.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $29$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $29$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 + 0)$

चरण 2.1.2.7

$2 x - 4$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4)$

चरण 2.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 29}$

चरण 2.1.3.2

$2 x - 4$ को $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 29}$

चरण 2.1.3.3

$2 x - 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.3.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 29}$

चरण 2.1.3.3.2

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 29}$

चरण 2.1.3.3.3

$2 x + 2 \cdot - 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 29}$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 29}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 29}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 29}]$

चरण 2.2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x - 2$ और $g (x) = x^{2} - 4 x + 29$ है.

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.3.2

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.3.4.2

$x^{2} - 4 x + 29$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.3.5

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.3.6

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.3.7

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.3.8

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.3.9

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.3.10

चूंकि $x$ के संबंध में $29$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $29$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.3.11

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.11.1

$2 x - 4$ और $0$ जोड़ें.

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.3.11.2

$2$ और $\frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 29 + (- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 29 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.3.1.1

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 29 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.2

$2$ को $29$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.3

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(- x + 2) (2 x - 4)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.3.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x - 4) + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.3.1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.3.1.5.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.5.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.3.1.5.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.5.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.5.1.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.5.1.4

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.5.1.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.5.1.6

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.5.2

$4 x$ और $4 x$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.3.1.7.1

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.7.2

$8$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 16 x + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.1.7.3

$2$ को $- 8$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.2

$2 x^{2}$ में से $4 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{- 2 x^{2} - 8 x + 58 + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.3

$- 8 x$ और $16 x$ जोड़ें.

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 58 - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.3.4

$58$ में से $16$ घटाएं.

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.4.1

$- 2 x^{2} + 8 x + 42$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.4.1.1

$- 2 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.4.1.2

$8 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.4.1.3

$42$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.4.1.4

$2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.4.1.5

$2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (21)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.4.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.4.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot 21 = - 21$ है और जिसका योग $b = 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.4.2.1.1

$4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.4.2.1.2

$4$ को $- 3$ जोड़ $7$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{2 (- x^{2} + (- 3 + 7) x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.4.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (- x^{2} - 3 x + 7 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.4.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.4.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{2 ((- x^{2} - 3 x) + 7 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.4.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x (- x - 3) - 7 (- x - 3))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.4.2.3

महत्तम समापवर्तक, $- x - 3$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{2 ((- x - 3) (x - 7))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.5

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- (x) - 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.6

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 (- (x) - 1 (3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.7

$- (x) - 1 (3)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.8

$- (x + 3)$ को $- 1 (x + 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 (- 1 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{(2 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.2.4.10

गुणनखंडों को $- \frac{(2 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ में पुन: क्रमित करें.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ है.

$- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}} = 0$

चरण 3.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 (x + 3) (x - 7) = 0$

चरण 3.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 3 = 0$

$x - 7 = 0$

चरण 3.3.2

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 3.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 3.3.3

$x - 7$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$x - 7$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 7 = 0$

चरण 3.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $7$ जोड़ें.

$x = 7$

चरण 3.3.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 (x + 3) (x - 7) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 3, 7$

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- 3$ को $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 3$ से बदलें.

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{2} - 4 \cdot - 3 + 29)$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 3) = \ln (9 - 4 \cdot - 3 + 29)$

चरण 4.1.2.1.2

$- 4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f (- 3) = \ln (9 + 12 + 29)$

चरण 4.1.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$9$ और $12$ जोड़ें.

$f (- 3) = \ln (21 + 29)$

चरण 4.1.2.2.2

$21$ और $29$ जोड़ें.

$f (- 3) = \ln (50)$

चरण 4.1.2.3

अंतिम उत्तर $\ln (50)$ है.

$\ln (50)$

चरण 4.2

$- 3$ को $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- 3, \ln (50))$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- 3, \ln (50))$

चरण 4.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $7$ को $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $7$ से बदलें.

$f (7) = \ln ({(7)}^{2} - 4 \cdot 7 + 29)$

चरण 4.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (7) = \ln (49 - 4 \cdot 7 + 29)$

चरण 4.3.2.1.2

$- 4$ को $7$ से गुणा करें.

$f (7) = \ln (49 - 28 + 29)$

चरण 4.3.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

$49$ में से $28$ घटाएं.

$f (7) = \ln (21 + 29)$

चरण 4.3.2.2.2

$21$ और $29$ जोड़ें.

$f (7) = \ln (50)$

चरण 4.3.2.3

अंतिम उत्तर $\ln (50)$ है.

$\ln (50)$

चरण 4.4

$7$ को $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(7, \ln (50))$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(7, \ln (50))$

चरण 4.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, - 3)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 3.1$ से बदलें.

$f'' (- 3.1) = - \frac{2 ((- 3.1) + 3) ((- 3.1) - 7)}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 3.1$ और $3$ जोड़ें.

$f'' (- 3.1) = - \frac{2 \cdot (- 0.1 (- 3.1 - 7))}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

चरण 6.2.1.2

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.2.1

$2$ को $- 0.1$ से गुणा करें.

$f'' (- 3.1) = - \frac{- 0.2 (- 3.1 - 7)}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

चरण 6.2.1.2.2

$- 0.2$ को $- 3.1 - 7$ से गुणा करें.

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 3.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(9.61 - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

चरण 6.2.2.2

$- 4$ को $- 3.1$ से गुणा करें.

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(9.61 + 12.4 + 29)}^{2}}$

चरण 6.2.2.3

$9.61$ और $12.4$ जोड़ें.

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(22.01 + 29)}^{2}}$

चरण 6.2.2.4

$22.01$ और $29$ जोड़ें.

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{51.01}^{2}}$

चरण 6.2.2.5

$51.01$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{2602.0201}$

चरण 6.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$2.02$ को $2602.0201$ से विभाजित करें.

$f'' (- 3.1) = - 1 \cdot 0.00077631$

चरण 6.2.3.2

$- 1$ को $0.00077631$ से गुणा करें.

$f'' (- 3.1) = - 0.00077631$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $- 0.00077631$ है.

$- 0.00077631$

चरण 6.3

$- 3.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.00077631$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, - 3)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, - 3)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- 3, 7)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f'' (2) = - \frac{2 ((2) + 3) ((2) - 7)}{{({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$2$ और $3$ जोड़ें.

$f'' (2) = - \frac{2 \cdot (5 (2 - 7))}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

चरण 7.2.1.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$f'' (2) = - \frac{10 (2 - 7)}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

चरण 7.2.1.3

$2$ में से $7$ घटाएं.

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(4 - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

चरण 7.2.2.2

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(4 - 8 + 29)}^{2}}$

चरण 7.2.2.3

$4$ में से $8$ घटाएं.

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(- 4 + 29)}^{2}}$

चरण 7.2.2.4

$- 4$ और $29$ जोड़ें.

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{25^{2}}$

चरण 7.2.2.5

$25$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{625}$

चरण 7.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$10$ को $- 5$ से गुणा करें.

$f'' (2) = - \frac{- 50}{625}$

चरण 7.2.3.2

$- 50$ और $625$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.2.1

$- 50$ में से $25$ का गुणनखंड करें.

$f'' (2) = - \frac{25 (- 2)}{625}$

चरण 7.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.2.2.1

$625$ में से $25$ का गुणनखंड करें.

$f'' (2) = - \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 25}$

चरण 7.2.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (2) = - \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 25}$

चरण 7.2.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (2) = - \frac{- 2}{25}$

चरण 7.2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (2) = \frac{2}{25}$

चरण 7.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{2}{25}$ है.

$\frac{2}{25}$

चरण 7.3

$2$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.08$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- 3, 7)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- 3, 7)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(7, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $7.1$ से बदलें.

$f'' (7.1) = - \frac{2 ((7.1) + 3) ((7.1) - 7)}{{({(7.1)}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$7.1$ और $3$ जोड़ें.

$f'' (7.1) = - \frac{2 \cdot (10.1 (7.1 - 7))}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

चरण 8.2.1.2

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.2.1

$2$ को $10.1$ से गुणा करें.

$f'' (7.1) = - \frac{20.2 (7.1 - 7)}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

चरण 8.2.1.2.2

$20.2$ को $7.1 - 7$ से गुणा करें.

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

चरण 8.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$7.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(50.41 - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

चरण 8.2.2.2

$- 4$ को $7.1$ से गुणा करें.

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(50.41 - 28.4 + 29)}^{2}}$

चरण 8.2.2.3

$50.41$ में से $28.4$ घटाएं.

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(22.01 + 29)}^{2}}$

चरण 8.2.2.4

$22.01$ और $29$ जोड़ें.

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{51.01}^{2}}$

चरण 8.2.2.5

$51.01$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{2602.0201}$

चरण 8.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

$2.02$ को $2602.0201$ से विभाजित करें.

$f'' (7.1) = - 1 \cdot 0.00077631$

चरण 8.2.3.2

$- 1$ को $0.00077631$ से गुणा करें.

$f'' (7.1) = - 0.00077631$

चरण 8.2.4

अंतिम उत्तर $- 0.00077631$ है.

$- 0.00077631$

चरण 8.3

$7.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.00077631$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(7, \infty)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(7, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 9

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को प्लस से माइनस या माइनस से प्लस में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$ हैं.

$(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$

चरण 10