कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{2} x)$ , $(2, \frac{π}{12})$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 2$ और $y = \frac{π}{12}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{3} \cdot \arctan (\frac{1}{2} x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{2} x)]$ है.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{2} x)]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arctan (x)$ और $g (x) = \frac{1}{2} x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{1}{2} x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\arctan (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + u^{2}}$ है.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{1}{2} x$ से बदलें.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{2} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

चरण 1.3.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

चरण 1.3.2.2

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{2})}^{2}) \cdot 3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 1.3.2.3

$3$ को $1 + {(\frac{x}{2})}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{3 \cdot (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 1.3.3

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 (3 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2}))} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.4.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

चरण 1.3.6

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

उत्पाद नियम को $\frac{x}{2}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{6 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

चरण 1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

चरण 1.4.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

चरण 1.4.3.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{4}}$

चरण 1.4.3.3

$6$ और $\frac{x^{2}}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{4}}$

चरण 1.4.3.4

$6$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.4.1

$6 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{6 + \frac{2 (3 x^{2})}{4}}$

चरण 1.4.3.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.4.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{6 + \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2)}}$

चरण 1.4.3.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{6 + \frac{2 (3 x^{2})}{2 \cdot 2}}$

चरण 1.4.3.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{6 + \frac{3 x^{2}}{2}}$

चरण 1.4.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{\frac{3 x^{2}}{2} + 6}$

चरण 1.4.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.5.1

$\frac{3 x^{2}}{2} + 6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.5.1.1

$\frac{3 x^{2}}{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{3 \frac{x^{2}}{2} + 6}$

चरण 1.4.5.1.2

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{3 \frac{x^{2}}{2} + 3 \cdot 2}$

चरण 1.4.5.1.3

$3 \frac{x^{2}}{2} + 3 \cdot 2$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{2} + 2)}$

चरण 1.4.5.2

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}$

चरण 1.4.5.3

$2$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}$

चरण 1.4.5.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{3 \frac{x^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

चरण 1.4.5.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 \frac{x^{2} + 4}{2}}$

चरण 1.4.6

$3$ और $\frac{x^{2} + 4}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{\frac{3 (x^{2} + 4)}{2}}$

चरण 1.4.7

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$1 \frac{2}{3 (x^{2} + 4)}$

चरण 1.4.8

$\frac{2}{3 (x^{2} + 4)}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3 (x^{2} + 4)}$

चरण 1.5

$x = 2$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{2}{3 ({(2)}^{2} + 4)}$

चरण 1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2}{3 (4 + 4)}$

चरण 1.6.1.2

$4$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{2}{3 \cdot 8}$

चरण 1.6.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.1

$3$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{2}{24}$

चरण 1.6.2.2

$2$ और $24$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1)}{24}$

चरण 1.6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.2.2.1

$24$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

चरण 1.6.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

चरण 1.6.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{12}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{1}{12}$ और दिए गए बिंदु $(2, \frac{π}{12})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\frac{π}{12}) = \frac{1}{12} \cdot (x - (2))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{12} \cdot (x - 2)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{1}{12} \cdot (x - 2)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - \frac{π}{12} = 0 + 0 + \frac{1}{12} \cdot (x - 2)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{12} \cdot (x - 2)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{12} x + \frac{1}{12} \cdot - 2$

चरण 2.3.1.4

$\frac{1}{12}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{12} \cdot - 2$

चरण 2.3.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{2 (6)} \cdot - 2$

चरण 2.3.1.5.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

चरण 2.3.1.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

चरण 2.3.1.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{6} \cdot - 1$

चरण 2.3.1.6

$\frac{1}{6}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 1}{6}$

चरण 2.3.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} - \frac{1}{6}$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{π}{12}$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{12} - \frac{1}{6} + \frac{π}{12}$

चरण 2.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$- \frac{1}{6}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{12} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{12}$

चरण 2.3.3.2

प्रत्येक व्यंजक को $12$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

$\frac{1}{6}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{12} - \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{12}$

चरण 2.3.3.2.2

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{12} - \frac{2}{12} + \frac{π}{12}$

चरण 2.3.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 2 + π}{12}$

चरण 2.3.3.4

$- 2$ को $- 1 (2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2) + π}{12}$

चरण 2.3.3.5

$π$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{12}$

चरण 2.3.3.6

$- 1 (2) - 1 (- π)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2 - π)}{12}$

चरण 2.3.3.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{x}{12} - \frac{2 - π}{12}$

चरण 2.3.3.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{1}{12} x - \frac{2 - π}{12}$

चरण 3