कैलकुलस उदाहरण

$\log_{5} (1 + x^{2})$

चरण 1

$\log_{5} (1 + x^{2})$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \log_{5} (x)$ और $g (x) = 1 + x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 + x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 2.1.1.2

$u$ के संबंध में $\log_{5} (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u \ln (5)}$ है.

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 2.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.1.2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (2 x)$

चरण 2.1.2.5

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.5.1

$2$ और $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)} x$

चरण 2.1.2.5.2

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$

चरण 2.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x}{1 \ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

चरण 2.1.3.2

$\ln (5)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x}{\ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

चरण 2.1.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ है.

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$

चरण 3.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 x = 0$

चरण 3.3

$2 x = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$2 x = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 3.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{2}$

चरण 3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0$ हैं.

$0$

चरण 5

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ है.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = \frac{2 (- 1)}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = \frac{- 2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

चरण 6.2.2.2

$\ln (5)$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5) + \ln (5)}$

चरण 6.2.2.3

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5 \cdot 5)}$

चरण 6.2.2.4

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (25)}$

चरण 6.2.3

$\ln (25)$ को $\ln (5^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5^{2})}$

चरण 6.2.4

$2$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (5^{2})$ का प्रसार करें.

$f' (- 1) = \frac{- 2}{2 \ln (5)}$

चरण 6.2.5

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

चरण 6.2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.2.1

$2 \ln (5)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\ln (5))}$

चरण 6.2.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

चरण 6.2.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{\ln (5)}$

चरण 6.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 1) = - \frac{1}{\ln (5)}$

चरण 6.2.7

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{\ln (5)}$ है.

$- \frac{1}{\ln (5)}$

चरण 6.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $- \frac{1}{\ln (5)}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, 0)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = \frac{2 (1)}{{(1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = \frac{2}{1^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = \frac{2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

चरण 7.2.2.2

$\ln (5)$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5) + \ln (5)}$

चरण 7.2.2.3

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5 \cdot 5)}$

चरण 7.2.2.4

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$f' (1) = \frac{2}{\ln (25)}$

चरण 7.2.3

$\ln (25)$ को $\ln (5^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5^{2})}$

चरण 7.2.4

$2$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (5^{2})$ का प्रसार करें.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

चरण 7.2.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

चरण 7.2.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (1) = \frac{1}{\ln (5)}$

चरण 7.2.6

अंतिम उत्तर $\frac{1}{\ln (5)}$ है.

$\frac{1}{\ln (5)}$

चरण 7.3

$x = 1$ पर व्युत्पन्न $\frac{1}{\ln (5)}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(0, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(0, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, 0)$

चरण 9