कैलकुलस उदाहरण

$\frac{4 t}{t^{2} + 1}$

चरण 1

$\frac{4 t}{t^{2} + 1}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (t) = \frac{4 t}{t^{2} + 1}$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $\frac{4 t}{t^{2} + 1}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$ है.

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

चरण 2.1.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ है, जहाँ $f (t) = t$ और $g (t) = t^{2} + 1$ है.

$4 \frac{(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \frac{(t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.3.2

$t^{2} + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \frac{t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.3.3

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ है.

$4 \frac{t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.3.5

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.6.1

$2 t$ और $0$ जोड़ें.

$4 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.3.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.4

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.5

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.8

$t^{2}$ में से $2 t^{2}$ घटाएं.

$4 \frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.9

$4$ और $\frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{4 (- t^{2} + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 (- t^{2}) + 4 \cdot 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.10.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.10.2.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{- 4 t^{2} + 4 \cdot 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.10.2.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (t) = \frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.2

$f (t)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $t$ , $\frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ है.

$\frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = 0$

चरण 3.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$- 4 t^{2} + 4 = 0$

चरण 3.3

$t$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$- 4 t^{2} = - 4$

चरण 3.3.2

$- 4 t^{2} = - 4$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$- 4 t^{2} = - 4$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से विभाजित करें.

$\frac{- 4 t^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

चरण 3.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

$- 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 4 t^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

चरण 3.3.2.2.1.2

$t^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$t^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

चरण 3.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.3.1

$- 4$ को $- 4$ से विभाजित करें.

$t^{2} = 1$

चरण 3.3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$t = \pm \sqrt{1}$

चरण 3.3.4

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$t = \pm 1$

चरण 3.3.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$t = 1$

चरण 3.3.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$t = - 1$

चरण 3.3.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$t = 1, - 1$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $1, - 1$ हैं.

$1, - 1$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को $t$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 1)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $t$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = \frac{- 4 {(- 2)}^{2} + 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 4 + 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 6.2.1.2

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = \frac{- 16 + 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 6.2.1.3

$- 16$ और $4$ जोड़ें.

$f' (- 2) = \frac{- 12}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2) = \frac{- 12}{{(4 + 1)}^{2}}$

चरण 6.2.2.2

$4$ और $1$ जोड़ें.

$f' (- 2) = \frac{- 12}{5^{2}}$

चरण 6.2.2.3

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2) = \frac{- 12}{25}$

चरण 6.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 2) = - \frac{12}{25}$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{12}{25}$ है.

$- \frac{12}{25}$

चरण 6.3

$t = - 2$ पर व्युत्पन्न $- \frac{12}{25}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, - 1)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (t) < 0$ से $(- \infty, - 1)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 1, 1)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $t$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = \frac{- 4 {(0)}^{2} + 4}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = \frac{- 4 \cdot 0 + 4}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 7.2.1.2

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = \frac{0 + 4}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 7.2.1.3

$0$ और $4$ जोड़ें.

$f' (0) = \frac{4}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = \frac{4}{{(0 + 1)}^{2}}$

चरण 7.2.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f' (0) = \frac{4}{1^{2}}$

चरण 7.2.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (0) = \frac{4}{1}$

चरण 7.2.3

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (0) = 4$

चरण 7.2.4

अंतिम उत्तर $4$ है.

$4$

चरण 7.3

$t = 0$ पर व्युत्पन्न $4$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 1, 1)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (t) > 0$ के बाद से $(- 1, 1)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(1, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $t$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = \frac{- 4 {(2)}^{2} + 4}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = \frac{- 4 \cdot 4 + 4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 8.2.1.2

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (2) = \frac{- 16 + 4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 8.2.1.3

$- 16$ और $4$ जोड़ें.

$f' (2) = \frac{- 12}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 8.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = \frac{- 12}{{(4 + 1)}^{2}}$

चरण 8.2.2.2

$4$ और $1$ जोड़ें.

$f' (2) = \frac{- 12}{5^{2}}$

चरण 8.2.2.3

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = \frac{- 12}{25}$

चरण 8.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (2) = - \frac{12}{25}$

चरण 8.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{12}{25}$ है.

$- \frac{12}{25}$

चरण 8.3

$t = 2$ पर व्युत्पन्न $- \frac{12}{25}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(1, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (t) < 0$ से $(1, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 9

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- 1, 1)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

चरण 10