कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d^{3}}{d x^{3}} \sin^{3} (x)$

चरण 1

यह व्युत्पन्न चेन रूल का उपयोग करके पूरा नहीं किया जा सका. Mathway दूसरी विधि का उपयोग करेगा.

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 2.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f' (x) = 3 \sin^{2} (x) \cos (x)$

चरण 3

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 \sin^{2} (x) \cos (x)$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$

चरण 3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \sin^{2} (x)$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

$3 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

चरण 3.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$3 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

चरण 3.4

घातांक जोड़कर $\sin^{2} (x)$ को $\sin (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\sin (x)$ ले जाएं.

$3 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

चरण 3.4.2

$\sin (x)$ को $\sin^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

चरण 3.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

चरण 3.4.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$3 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

चरण 3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- 1$ को $\sin^{3} (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

चरण 3.5.2

$- 1 \sin^{3} (x)$ को $- \sin^{3} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

चरण 3.6

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

चरण 3.6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

चरण 3.6.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

चरण 3.7

$2$ को $\cos (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cdot \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 3.8

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x))$

चरण 3.9

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x))$

चरण 3.10

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x))$

चरण 3.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x))$

चरण 3.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

चरण 3.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.13.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (- \sin^{3} (x)) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

चरण 3.13.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.13.2.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- 3 \sin^{3} (x) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

चरण 3.13.2.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$- 3 \sin^{3} (x) + 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$

चरण 3.13.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$

चरण 4

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

चरण 4.2

$\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ है.

$6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

चरण 4.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \cos^{2} (x)$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

चरण 4.2.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

चरण 4.2.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

चरण 4.2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

चरण 4.2.4.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

चरण 4.2.5

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

चरण 4.2.6

घातांक जोड़कर $\cos^{2} (x)$ को $\cos (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.1

$\cos^{2} (x)$ को $\cos (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.1.1

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

चरण 4.2.6.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

चरण 4.2.6.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

चरण 4.2.7

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

चरण 4.2.8

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

चरण 4.2.9

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

चरण 4.2.10

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

चरण 4.2.11

$1$ और $1$ जोड़ें.

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$

चरण 4.3

$\frac{d}{d x} [- 3 \sin^{3} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 \sin^{3} (x)$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ है.

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

चरण 4.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 4.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 4.3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 4.3.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 (3 \sin^{2} (x) \cos (x))$

चरण 4.3.4

$3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

चरण 4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 \cos^{3} (x) + 6 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

चरण 4.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

$- 2$ को $6$ से गुणा करें.

$6 \cos^{3} (x) - 12 (\cos (x) \sin^{2} (x)) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

चरण 4.4.2.2

$- 12 \cos (x) \sin^{2} (x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$6 \cos^{3} (x) - 12 \sin^{2} (x) \cos (x) - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

चरण 4.4.2.3

$- 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ में से $9 \sin^{2} (x) \cos (x)$ घटाएं.

$6 \cos^{3} (x) - 21 \sin^{2} (x) \cos (x)$

चरण 4.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f''' (x) = - 21 \sin^{2} (x) \cos (x) + 6 \cos^{3} (x)$