कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (| 1 + t - t^{3} |)$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \ln (t)$ और $g (t) = | 1 + t - t^{3} |$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $| 1 + t - t^{3} |$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [| 1 + t - t^{3} |]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [| 1 + t - t^{3} |]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $| 1 + t - t^{3} |$ से बदलें.

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [| 1 + t - t^{3} |]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = | t |$ और $g (t) = 1 + t - t^{3}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $1 + t - t^{3}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d t} [1 + t - t^{3}])$

चरण 2.2

$u_{2}$ के संबंध में $| u_{2} |$ का व्युत्पन्न $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ है.

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d t} [1 + t - t^{3}])$

चरण 2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 + t - t^{3}$ से बदलें.

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [1 + t - t^{3}])$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $1 + t - t^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]$ है.

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]))$

चरण 3.2

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]))$

चरण 3.3

$0$ और $\frac{d}{d t} [t]$ जोड़ें.

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]))$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 + \frac{d}{d t} [- t^{3}]))$

चरण 3.5

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- t^{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ है.

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 - \frac{d}{d t} [t^{3}]))$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 - (3 t^{2})))$

चरण 3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.7.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} (\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 - 3 t^{2}))$

चरण 3.7.2

$\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |} (1 - 3 t^{2})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |} ((1 - 3 t^{2}) \frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |})$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

पदों को मिलाएं.

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चरण 4.1.1

$\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} |}$ को $\frac{1}{| 1 + t - t^{3} |}$ से गुणा करें.

$\frac{1 + t - t^{3}}{| 1 + t - t^{3} | | 1 + t - t^{3} |} (1 - 3 t^{2})$

चरण 4.1.2

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$\frac{1 + t - t^{3}}{| (1 + t - t^{3}) (1 + t - t^{3}) |} (1 - 3 t^{2})$

चरण 4.1.3

$1 + t - t^{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{1} (1 + t - t^{3}) |} (1 - 3 t^{2})$

चरण 4.1.4

$1 + t - t^{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{1} {(1 + t - t^{3})}^{1} |} (1 - 3 t^{2})$

चरण 4.1.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{1 + 1} |} (1 - 3 t^{2})$

चरण 4.1.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$

चरण 4.2

$\frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(1 - 3 t^{2}) \frac{1 + t - t^{3}}{| {(1 + t - t^{3})}^{2} |}$