कैलकुलस उदाहरण

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

चरण 1

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

चरण 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

चरण 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

चरण 2.1.1.2.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

चरण 2.1.1.2.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

चरण 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 2.1.1.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 2.1.1.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 2.1.1.3.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

चरण 2.1.1.3.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

चरण 2.1.1.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

चरण 2.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \cos (x) \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.2.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.2.4

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.2.5

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.2.6

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.2.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.2.9

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.2.10

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.2.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.2.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 2.1.2.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

चरण 2.1.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

चरण 2.1.2.4.2

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

चरण 2.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ है.

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

चरण 2.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

चरण 2.2.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 4

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, \infty)$

चरण 5

अंतराल $(- \infty, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = - 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f'' (0) = - 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

चरण 5.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f'' (0) = - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

चरण 5.2.1.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (0) = - 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

चरण 5.2.1.4

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

चरण 5.2.1.5

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

चरण 5.2.1.6

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cos (0)$

चरण 5.2.1.7

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cdot 1$

चरण 5.2.1.8

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2$

चरण 5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$- 2$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (0) = - 2 - 2$

चरण 5.2.2.2

$- 2$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (0) = - 4$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 4$ है.

$- 4$

चरण 5.3

अंतराल $(- \infty, \infty)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (0)$ ऋणात्मक है.

$(- \infty, \infty)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 6