कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 5 \ln (3 x + 2)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 \ln (3 x + 2)$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 2)]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 2)]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 3 x + 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x + 2$ के रूप में सेट करें.

$5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 2])$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 2])$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x + 2$ से बदलें.

$5 (\frac{1}{3 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x + 2])$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{1}{3 x + 2}$ और $5$ को मिलाएं.

$\frac{5}{3 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x + 2]$

चरण 1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{5}{3 x + 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 1.3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{5}{3 x + 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{5}{3 x + 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 1.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{5}{3 x + 2} (3 + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 1.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{5}{3 x + 2} (3 + 0)$

चरण 1.3.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.7.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{5}{3 x + 2} \cdot 3$

चरण 1.3.7.2

$\frac{5}{3 x + 2}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{5 \cdot 3}{3 x + 2}$

चरण 1.3.7.3

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{15}{3 x + 2}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $15$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{15}{3 x + 2}$ का व्युत्पन्न $15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 2}]$ है.

$15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 2}]$

चरण 2.1.2

$\frac{1}{3 x + 2}$ को ${(3 x + 2)}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$15 \frac{d}{d x} [{(3 x + 2)}^{- 1}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = 3 x + 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x + 2$ के रूप में सेट करें.

$15 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x + 2])$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$15 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x + 2])$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x + 2$ से बदलें.

$15 (- {(3 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x + 2])$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 1$ को $15$ से गुणा करें.

$- 15 ({(3 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x + 2])$

चरण 2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$- 15 {(3 x + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 2.3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 15 {(3 x + 2)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 2.3.4

$- 15 {(3 x + 2)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 2.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$- 15 {(3 x + 2)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 2.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 15 {(3 x + 2)}^{- 2} (3 + 0)$

चरण 2.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$- 15 {(3 x + 2)}^{- 2} \cdot 3$

चरण 2.3.7.2

$3$ को $- 15$ से गुणा करें.

$- 45 {(3 x + 2)}^{- 2}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 45 \frac{1}{{(3 x + 2)}^{2}}$

चरण 2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$- 45$ और $\frac{1}{{(3 x + 2)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 45}{{(3 x + 2)}^{2}}$

चरण 2.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{45}{{(3 x + 2)}^{2}}$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चूंकि $- 45$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{45}{{(3 x + 2)}^{2}}$ का व्युत्पन्न $- 45 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 2)}^{2}}]$ है.

$- 45 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 2)}^{2}}]$

चरण 3.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$\frac{1}{{(3 x + 2)}^{2}}$ को ${({(3 x + 2)}^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 45 \frac{d}{d x} [{({(3 x + 2)}^{2})}^{- 1}]$

चरण 3.1.2.2

घातांक को ${({(3 x + 2)}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 45 \frac{d}{d x} [{(3 x + 2)}^{2 \cdot - 1}]$

चरण 3.1.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 45 \frac{d}{d x} [{(3 x + 2)}^{- 2}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = 3 x + 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x + 2$ के रूप में सेट करें.

$- 45 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [3 x + 2])$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$- 45 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x + 2])$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x + 2$ से बदलें.

$- 45 (- 2 {(3 x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x + 2])$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 2$ को $- 45$ से गुणा करें.

$90 ({(3 x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x + 2])$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$90 {(3 x + 2)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 3.3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$90 {(3 x + 2)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 3.3.4

$90 {(3 x + 2)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 3.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$90 {(3 x + 2)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 3.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$90 {(3 x + 2)}^{- 3} (3 + 0)$

चरण 3.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.7.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$90 {(3 x + 2)}^{- 3} \cdot 3$

चरण 3.3.7.2

$3$ को $90$ से गुणा करें.

$270 {(3 x + 2)}^{- 3}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$270 \frac{1}{{(3 x + 2)}^{3}}$

चरण 3.4.2

$270$ और $\frac{1}{{(3 x + 2)}^{3}}$ को मिलाएं.

$f''' (x) = \frac{270}{{(3 x + 2)}^{3}}$

चरण 4

$f (x)$ का तीसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{270}{{(3 x + 2)}^{3}}$ है.

$\frac{270}{{(3 x + 2)}^{3}}$