कैलकुलस उदाहरण

$y = \arctan (\frac{1}{4} x)$ ; $(4, \frac{π}{4})$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 4$ और $y = \frac{π}{4}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arctan (x)$ और $g (x) = \frac{1}{4} x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{1}{4} x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x]$

चरण 1.1.2

$u$ के संबंध में $\arctan (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + u^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{1}{4} x$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{4} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$\frac{1}{4}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x]$

चरण 1.2.2

$\frac{1}{4}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

चरण 1.2.3

चूंकि $\frac{1}{4}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.2.4

$\frac{1}{4}$ को $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} \cdot 1$

चरण 1.2.6

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

उत्पाद नियम को $\frac{x}{4}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{4 (1 + \frac{x^{2}}{4^{2}})}$

चरण 1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4 \cdot 1 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}}$

चरण 1.3.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}}$

चरण 1.3.3.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{16}}$

चरण 1.3.3.3

$4$ और $\frac{x^{2}}{16}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{16}}$

चरण 1.3.3.4

$4$ और $16$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.4.1

$4 x^{2}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4 + \frac{4 (x^{2})}{16}}$

चरण 1.3.3.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.4.2.1

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}}$

चरण 1.3.3.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}}$

चरण 1.3.3.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$

चरण 1.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + 4}$

चरण 1.3.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.1

$4$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}}$

चरण 1.3.5.2

$4$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}}$

चरण 1.3.5.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 4 \cdot 4}{4}}$

चरण 1.3.5.4

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 16}{4}}$

चरण 1.3.6

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$1 \frac{4}{x^{2} + 16}$

चरण 1.3.7

$\frac{4}{x^{2} + 16}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{x^{2} + 16}$

चरण 1.4

$x = 4$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{4}{{(4)}^{2} + 16}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4}{16 + 16}$

चरण 1.5.1.2

$16$ और $16$ जोड़ें.

$\frac{4}{32}$

चरण 1.5.2

$4$ और $32$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (1)}{32}$

चरण 1.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.1

$32$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 8}$

चरण 1.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 8}$

चरण 1.5.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{8}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{1}{8}$ और दिए गए बिंदु $(4, \frac{π}{4})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\frac{π}{4}) = \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - \frac{π}{4} = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 4$

चरण 2.3.1.4

$\frac{1}{8}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 4$

चरण 2.3.1.5

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.5.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 (2)} \cdot - 4$

चरण 2.3.1.5.2

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

चरण 2.3.1.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

चरण 2.3.1.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

चरण 2.3.1.6

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2}$

चरण 2.3.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} - \frac{1}{2}$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{π}{4}$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} + \frac{π}{4}$

चरण 2.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$- \frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

चरण 2.3.3.2

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{8} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

चरण 2.3.3.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{8} - \frac{2}{4} + \frac{π}{4}$

चरण 2.3.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 2 + π}{4}$

चरण 2.3.3.4

$- 2$ को $- 1 (2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 (2) + π}{4}$

चरण 2.3.3.5

$π$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{4}$

चरण 2.3.3.6

$- 1 (2) - 1 (- π)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 (2 - π)}{4}$

चरण 2.3.3.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{x}{8} - \frac{2 - π}{4}$

चरण 2.3.3.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{1}{8} x - \frac{2 - π}{4}$

चरण 3