कैलकुलस उदाहरण

$\cos (4 y) = x$ , $(0, \frac{π}{8})$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 0$ और $y = \frac{π}{8}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (\cos (4 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 4 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 1.2.1.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 1.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $4 y$ से बदलें.

$- \sin (4 y) \frac{d}{d x} [4 y]$

चरण 1.2.2

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 y$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$- \sin (4 y) (4 \frac{d}{d x} [y])$

चरण 1.2.2.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 4 \sin (4 y) \frac{d}{d x} [y]$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 4 \sin (4 y) y'$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$- 4 \sin (4 y) y' = 1$

चरण 1.5

$- 4 \sin (4 y) y' = 1$ के प्रत्येक पद को $- 4 \sin (4 y)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$- 4 \sin (4 y) y' = 1$ के प्रत्येक पद को $- 4 \sin (4 y)$ से विभाजित करें.

$\frac{- 4 \sin (4 y) y'}{- 4 \sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

चरण 1.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$- 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 4 \sin (4 y) y'}{- 4 \sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

चरण 1.5.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sin (4 y) y'}{\sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

चरण 1.5.2.2

$\sin (4 y)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sin (4 y) y'}{\sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

चरण 1.5.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

चरण 1.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

अलग-अलग भिन्न

$y' = \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{\sin (4 y)}$

चरण 1.5.3.2

$\frac{1}{\sin (4 y)}$ को $\csc (4 y)$ में बदलें.

$y' = \frac{1}{- 4} \csc (4 y)$

चरण 1.5.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{1}{4} \csc (4 y)$

चरण 1.5.3.4

$\csc (4 y)$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$y' = - \frac{\csc (4 y)}{4}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (4 y)}{4}$

चरण 1.7

$x = 0$ और $y = \frac{π}{8}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$- \frac{\csc (4 y)}{4}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $\frac{π}{8}$ से बदलें.

$- \frac{\csc (4 (\frac{π}{8}))}{4}$

चरण 1.7.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{\csc (4 \frac{π}{4 (2)})}{4}$

चरण 1.7.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{\csc (4 \frac{π}{4 \cdot 2})}{4}$

चरण 1.7.3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{\csc (\frac{π}{2})}{4}$

चरण 1.7.3.2

$\csc (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$- \frac{1}{4}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- \frac{1}{4}$ और दिए गए बिंदु $(0, \frac{π}{8})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\frac{π}{8}) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \frac{π}{8} = - \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$y - \frac{π}{8} = - \frac{1}{4} \cdot x$

चरण 2.3.1.2

$x$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$y - \frac{π}{8} = - \frac{x}{4}$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{π}{8}$ जोड़ें.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{π}{8}$

चरण 2.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{π}{8}$

चरण 2.3.3.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{π}{8}$

चरण 3