कैलकुलस उदाहरण

$16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

चरण 1

$16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

चरण 4

चूँकि $16$ बटे $x$ अचर है, $16$ को समाकलन से हटा दें.

$16 \int \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

चरण 5

$\cos^{2} (x)$ को $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$16 \int \sin^{2} (x) \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

चरण 6

$\sin^{2} (x)$ को $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$16 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ को $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ से गुणा करें.

$16 \int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

चरण 7.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$16 \int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$16 (\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{4}$ और $16$ को मिलाएं.

$\frac{16}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

चरण 9.2

$16$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 4}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

चरण 9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

चरण 9.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

चरण 9.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4}{1} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

चरण 9.2.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$4 \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

चरण 10

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 10.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 10.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 10.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 10.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$4 \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 11

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

चरण 12

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{4}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

चरण 12.1.2

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

चरण 12.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

चरण 12.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

चरण 12.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{1} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

चरण 12.1.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

चरण 12.2

$(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

चरण 12.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

चरण 12.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

चरण 12.2.4

$\cos (u_{1})$ ले जाएं.

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

चरण 12.2.5

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

चरण 12.2.6

$\cos (u_{1})$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

चरण 12.2.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

चरण 12.2.8

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

चरण 12.2.9

$\cos (u_{1})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

चरण 12.2.10

$\cos (u_{1})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

चरण 12.2.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

चरण 12.2.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 12.2.13

$\cos (u_{1})$ में से $\cos (u_{1})$ घटाएं.

$2 \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 12.2.14

$0$ में से $\cos^{2} (u_{1})$ घटाएं.

$2 \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 13

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

चरण 14

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

चरण 15

चूँकि $- 1$ बटे $u_{1}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

चरण 16

$\cos^{2} (u_{1})$ को $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$2 (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

चरण 17

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

चरण 18

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

चरण 19

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

चरण 20

मान लीजिए $u_{2} = 2 u_{1}$ .फिर $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

मान लें $u_{2} = 2 u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1.1

$2 u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

चरण 20.1.2

चूंकि $2$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $2 u_{1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 20.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 20.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 20.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

चरण 21

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

चरण 22

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

चरण 23

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

चरण 24

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 24.1

सरल करें.

$2 (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

चरण 24.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 24.2.1

$u_{1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

चरण 24.2.2

$u_{1}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

चरण 24.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

चरण 24.2.4

$2$ को $u_{1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

चरण 24.2.5

$2 u_{1}$ में से $u_{1}$ घटाएं.

$2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

चरण 25

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

चरण 25.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 u_{1}$ से बदलें.

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

चरण 25.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

चरण 26

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 26.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 26.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 26.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

चरण 26.1.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 (x - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

चरण 26.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 (x - \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

चरण 26.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 x + 2 (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

चरण 26.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 26.3.1

$- \frac{\sin (4 x)}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{4} + C$

चरण 26.3.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{2 (2)} + C$

चरण 26.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{2 \cdot 2} + C$

चरण 26.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 x + \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

चरण 26.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 x - \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

चरण 27

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x) + C$

चरण 28

उत्तर फलन $f (x) = 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x) + C$