कैलकुलस उदाहरण

$6 x^{2} \sqrt{3 x^{3} - 4}$

चरण 1

$6 x^{2} \sqrt{3 x^{3} - 4}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 6 x^{2} \sqrt{3 x^{3} - 4}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int 6 x^{2} \sqrt{3 x^{3} - 4} d x$

चरण 4

चूँकि $6$ बटे $x$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$6 \int x^{2} \sqrt{3 x^{3} - 4} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 3 x^{3} - 4$ .फिर $d u = 9 x^{2} d x$ , तो $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 3 x^{3} - 4$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$3 x^{3} - 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 4]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{3} - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{3}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 5.1.3.3

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 5.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$9 x^{2} + 0$

चरण 5.1.4.2

$9 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$9 x^{2}$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$6 \int \sqrt{u} \frac{1}{9} d u$

चरण 6

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{9}$ को मिलाएं.

$6 \int \frac{\sqrt{u}}{9} d u$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{9}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{9}$ को समाकलन से हटा दें.

$6 (\frac{1}{9} \int \sqrt{u} d u)$

चरण 8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$\frac{1}{9}$ और $6$ को मिलाएं.

$\frac{6}{9} \int \sqrt{u} d u$

चरण 8.1.2

$6$ और $9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (2)}{9} \int \sqrt{u} d u$

चरण 8.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.2.1

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} \int \sqrt{u} d u$

चरण 8.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} \int \sqrt{u} d u$

चरण 8.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{3} \int \sqrt{u} d u$

चरण 8.2

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ को $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$\frac{2}{3}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 10.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 10.2.3

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{4}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x^{3} - 4$ से बदलें.

$\frac{4}{9} {(3 x^{3} - 4)}^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 12

उत्तर फलन $f (x) = 6 x^{2} \sqrt{3 x^{3} - 4}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{4}{9} {(3 x^{3} - 4)}^{\frac{3}{2}} + C$