कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 1$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{3} x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.2.3

$3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.2.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.2.5.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x^{2} - 4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{2} - 4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.4.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} - 4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x^{2} - 4 x + 4 + 0$

चरण 1.1.5.2

$x^{2} - 4 x + 4$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 4$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $x^{2} - 4 x + 4$ है.

$x^{2} - 4 x + 4$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

चरण 2.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

चरण 2.2.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

चरण 2.2.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

चरण 2.2.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = 2$ है.

${(x - 2)}^{2} = 0$

चरण 2.3

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 2.4

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 1$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 2$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 1$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{3} \cdot 8 - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 1$

चरण 4.1.2.1.2

$\frac{1}{3}$ और $8$ को मिलाएं.

$\frac{8}{3} - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 1$

चरण 4.1.2.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{8}{3} - 2 \cdot 4 + 4 (2) - 1$

चरण 4.1.2.1.4

$- 2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{8}{3} - 8 + 4 (2) - 1$

चरण 4.1.2.1.5

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{8}{3} - 8 + 8 - 1$

चरण 4.1.2.2

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$- 8$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} + 8 - 1$

चरण 4.1.2.2.2

$\frac{- 8}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 8 - 1$

चरण 4.1.2.2.3

$\frac{- 8}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 8 - 1$

चरण 4.1.2.2.4

$8$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1} - 1$

चरण 4.1.2.2.5

$\frac{8}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{3}{3} - 1$

चरण 4.1.2.2.6

$\frac{8}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - 1$

चरण 4.1.2.2.7

$- 1$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 1}{1}$

चरण 4.1.2.2.8

$\frac{- 1}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

चरण 4.1.2.2.9

$\frac{- 1}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

चरण 4.1.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{8 - 8 \cdot 3 + 8 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3}$

चरण 4.1.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.4.1

$- 8$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{8 - 24 + 8 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3}$

चरण 4.1.2.4.2

$8$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{8 - 24 + 24 - 1 \cdot 3}{3}$

चरण 4.1.2.4.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{8 - 24 + 24 - 3}{3}$

चरण 4.1.2.5

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.5.1

$8$ में से $24$ घटाएं.

$\frac{- 16 + 24 - 3}{3}$

चरण 4.1.2.5.2

$- 16$ और $24$ जोड़ें.

$\frac{8 - 3}{3}$

चरण 4.1.2.5.3

$8$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{5}{3}$

चरण 4.2

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(2, \frac{5}{3})$

चरण 5