कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = - 2 x^{3} - 18 x^{2} - 54 x - 57$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 2 x^{3} - 18 x^{2} - 54 x - 57$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54 x] + \frac{d}{d x} [- 57]$ है.

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54 x] + \frac{d}{d x} [- 57]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54 x] + \frac{d}{d x} [- 57]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54 x] + \frac{d}{d x} [- 57]$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54 x] + \frac{d}{d x} [- 57]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 18$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 18 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- 6 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54 x] + \frac{d}{d x} [- 57]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- 6 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 54 x] + \frac{d}{d x} [- 57]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $- 18$ से गुणा करें.

$- 6 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} [- 54 x] + \frac{d}{d x} [- 57]$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 54 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $- 54$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 54 x$ का व्युत्पन्न $- 54 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 6 x^{2} - 36 x - 54 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 57]$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 6 x^{2} - 36 x - 54 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 57]$

चरण 1.1.4.3

$- 54$ को $1$ से गुणा करें.

$- 6 x^{2} - 36 x - 54 + \frac{d}{d x} [- 57]$

चरण 1.1.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 57$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 57$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 6 x^{2} - 36 x - 54 + 0$

चरण 1.1.5.2

$- 6 x^{2} - 36 x - 54$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = - 6 x^{2} - 36 x - 54$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 6 x^{2} - 36 x - 54$ है.

$- 6 x^{2} - 36 x - 54$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 6 x^{2} - 36 x - 54 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 6 x^{2} - 36 x - 54 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$- 6 x^{2} - 36 x - 54$ में से $- 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$- 6 x^{2}$ में से $- 6$ का गुणनखंड करें.

$- 6 x^{2} - 36 x - 54 = 0$

चरण 2.2.1.2

$- 36 x$ में से $- 6$ का गुणनखंड करें.

$- 6 x^{2} - 6 (6 x) - 54 = 0$

चरण 2.2.1.3

$- 54$ में से $- 6$ का गुणनखंड करें.

$- 6 x^{2} - 6 (6 x) - 6 \cdot 9 = 0$

चरण 2.2.1.4

$- 6 (x^{2}) - 6 (6 x)$ में से $- 6$ का गुणनखंड करें.

$- 6 (x^{2} + 6 x) - 6 \cdot 9 = 0$

चरण 2.2.1.5

$- 6 (x^{2} + 6 x) - 6 (9)$ में से $- 6$ का गुणनखंड करें.

$- 6 (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

चरण 2.2.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 6 (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

चरण 2.2.2.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

चरण 2.2.2.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$- 6 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

चरण 2.2.2.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = 3$ है.

$- 6 {(x + 3)}^{2} = 0$

चरण 2.3

$- 6 {(x + 3)}^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को $- 6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 6 {(x + 3)}^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को $- 6$ से विभाजित करें.

$\frac{- 6 {(x + 3)}^{2}}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$- 6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 6 {(x + 3)}^{2}}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

चरण 2.3.2.1.2

${(x + 3)}^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

${(x + 3)}^{2} = \frac{0}{- 6}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$0$ को $- 6$ से विभाजित करें.

${(x + 3)}^{2} = 0$

चरण 2.4

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 2.5

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $- 3$ हैं.

$- 3$

चरण 4

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = - 6 x^{2} - 36 x - 54$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = - 2 x^{3} - 18 x^{2} - 54 x - 57$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$ है.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 3)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4$ से बदलें.

$f' (- 4) = - 6 {(- 4)}^{2} - 36 \cdot - 4 - 54$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 4) = - 6 \cdot 16 - 36 \cdot - 4 - 54$

चरण 5.2.1.2

$- 6$ को $16$ से गुणा करें.

$f' (- 4) = - 96 - 36 \cdot - 4 - 54$

चरण 5.2.1.3

$- 36$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (- 4) = - 96 + 144 - 54$

चरण 5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$- 96$ और $144$ जोड़ें.

$f' (- 4) = 48 - 54$

चरण 5.2.2.2

$48$ में से $54$ घटाएं.

$f' (- 4) = - 6$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 6$ है.

$- 6$

चरण 5.3

$x = - 4$ पर व्युत्पन्न $- 6$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, - 3)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, - 3)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 3, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = - 6 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2 - 54$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2) = - 6 \cdot 4 - 36 \cdot - 2 - 54$

चरण 6.2.1.2

$- 6$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = - 24 - 36 \cdot - 2 - 54$

चरण 6.2.1.3

$- 36$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = - 24 + 72 - 54$

चरण 6.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 24$ और $72$ जोड़ें.

$f' (- 2) = 48 - 54$

चरण 6.2.2.2

$48$ में से $54$ घटाएं.

$f' (- 2) = - 6$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 6$ है.

$- 6$

चरण 6.3

$x = - 2$ पर व्युत्पन्न $- 6$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- 3, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- 3, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 7

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, - 3), (- 3, \infty)$

चरण 8