कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

चरण 1

$f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = \sqrt{3 - e^{2 y}}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $\sqrt{3 - e^{2 y}} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{3 - e^{2 y}} = x$

चरण 3.2

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{3 - e^{2 y}}}^{2} = x^{2}$

चरण 3.3

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\sqrt{3 - e^{2 y}}$ को ${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

चरण 3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

घातांक को ${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

चरण 3.3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

चरण 3.3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(3 - e^{2 y})}^{1} = x^{2}$

चरण 3.3.2.1.2

सरल करें.

$3 - e^{2 y} = x^{2}$

चरण 3.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$- e^{2 y} = x^{2} - 3$

चरण 3.4.2

$- e^{2 y} = x^{2} - 3$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$- e^{2 y} = x^{2} - 3$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- e^{2 y}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

चरण 3.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{e^{2 y}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

चरण 3.4.2.2.2

$e^{2 y}$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{2 y} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

चरण 3.4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.3.1.1

ऋणात्मक को $\frac{x^{2}}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$e^{2 y} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 3}{- 1}$

चरण 3.4.2.3.1.2

$- 1 \cdot x^{2}$ को $- x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{2 y} = - x^{2} + \frac{- 3}{- 1}$

चरण 3.4.2.3.1.3

$- 3$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$e^{2 y} = - x^{2} + 3$

चरण 3.4.3

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (- x^{2} + 3)$

चरण 3.4.4

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

$2 y$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{2 y})$ का प्रसार करें.

$2 y \ln (e) = \ln (- x^{2} + 3)$

चरण 3.4.4.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$2 y \cdot 1 = \ln (- x^{2} + 3)$

चरण 3.4.4.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 y = \ln (- x^{2} + 3)$

चरण 3.4.5

$2 y = \ln (- x^{2} + 3)$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1

$2 y = \ln (- x^{2} + 3)$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

चरण 3.4.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

चरण 3.4.5.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$ , $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}})$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \frac{\ln (- {(\sqrt{3 - e^{2 x}})}^{2} + 3)}{2}$

चरण 5.2.3

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (- {\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2} + 3)$ को सरल करें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

${\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2}$ को $3 - e^{2 x}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1.1

$\sqrt{3 - e^{2 x}}$ को ${(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {({(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.4.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.4.1.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{2}{2}} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.4.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{2}{2}} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.4.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- (3 - e^{2 x}) + 3)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.4.1.5

सरल करें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- (3 - e^{2 x}) + 3)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 1 \cdot 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.4.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.4.4

$- - e^{2 x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + 1 e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.4.4.2

$e^{2 x}$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.5

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

$- 3 + e^{2 x} + 3$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1.1

$- 3$ और $3$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(0 + e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.5.1.2

$0$ और $e^{2 x}$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.5.2

घातांक को ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

चरण 5.2.5.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.2.2.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

चरण 5.2.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

चरण 5.2.5.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{x})$

चरण 5.2.6

$x$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x \ln (e)$

चरण 5.2.7

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x \cdot 1$

चरण 5.2.8

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})$ का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{2 (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})}}$

चरण 5.3.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{2 (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})}}$

चरण 5.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{\ln (- x^{2} + 3)}}$

चरण 5.3.4

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - (- x^{2} + 3)}$

चरण 5.3.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 + x^{2} - 1 \cdot 3}$

चरण 5.3.6

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 + x^{2} - 3}$

चरण 5.3.7

$3$ में से $3$ घटाएं.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

चरण 5.3.8

$x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

चरण 5.3.9

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$ , $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$