कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$ , $[1, 4]$

चरण 1

यदि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर निरंतर है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, तो अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक वास्तविक संख्या $c$ मौजूद है जैसे कि $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . माध्य मान प्रमेय $x = c$ पर वक्र के स्पर्शरेखा के ढलान और बिंदुओं $(a, f (a))$ और $(b, f (b))$ के माध्यम से रेखा के ढलान के बीच संबंध को व्यक्त करती है.

अगर $f (x)$ $[a, b]$ पर निरन्तर है

और यदि $f (x)$ $(a, b)$ पर अवकलनीय है,

तो $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ में कम से कम एक बिंदु $c$ मौजूद है.

चरण 2

जांचें कि क्या $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ निरंतर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $[1, 4]$ पर निरंतर है या नहीं, $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\frac{x}{x + 2}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x + 2 = 0$

चरण 2.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 2.1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq - 2}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq - 2}$

चरण 2.2

$f (x)$ $[1, 4]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 3

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x + 2$ है.

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 3.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 3.1.2.2

$x + 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 3.1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 3.1.2.4

$\frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 3.1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 3.1.2.6

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.6.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 3.1.2.6.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 3.1.2.6.3

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 3.1.2.6.4

$0$ और $2$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 3.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ है.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 4

पता करें कि व्युत्पन्न $(1, 4)$ पर सतत है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $(1, 4)$ पर निरंतर है या नहीं, $f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x + 2)}^{2} = 0$

चरण 4.1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 4.1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 4.1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq - 2}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq - 2}$

चरण 4.2

$f' (x)$ $(1, 4)$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 5

फलन $(1, 4)$ पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न $(1, 4)$ पर निरंतर है.

फलन अवकलनीय है.

चरण 6

$f (x)$ माध्य मान प्रमेय के लिए दो शर्तों को पूरा करता है. यह $[1, 4]$ पर निरंतर है और $(1, 4)$ पर अवकलनीय है.

$f (x)$ , $[1, 4]$ पर निरंतर है और $(1, 4)$ पर अवकलनीय है.

चरण 7

अंतराल $[1, 4]$ से $f (a)$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = \frac{1}{(1) + 2}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f (1) = \frac{1}{3}$

चरण 7.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{1}{3}$ है.

$\frac{1}{3}$

चरण 8

अंतराल $[1, 4]$ से $f (b)$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f (4) = \frac{4}{(4) + 2}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$4$ और $(4) + 2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{4 + 2}$

चरण 8.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (2) + 2}$

चरण 8.2.1.2.2

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 1}$

चरण 8.2.1.2.3

$2 \cdot 2 + 2 \cdot 1$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

चरण 8.2.1.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

चरण 8.2.1.2.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (4) = \frac{2}{2 + 1}$

चरण 8.2.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f (4) = \frac{2}{3}$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{2}{3}$ है.

$\frac{2}{3}$

चरण 9

$x$ के लिए $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ को हल करें. $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (4) + f (1))}{- (4 + 1)}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

प्रत्येक पद का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$- 1$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

चरण 9.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 1}{3}}{(4) - (1)}$

चरण 9.1.3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

चरण 9.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{4 - 1}$

चरण 9.1.5

$4$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{3}$

चरण 9.1.6

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

चरण 9.1.7

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.7.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3 \cdot 3}$

चरण 9.1.7.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$

चरण 9.2

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

${(x + 2)}^{2}, 9$

चरण 9.2.2

LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जिसे सभी संख्याएँ समान रूप से विभाजित करती हैं.

1. प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सूची बनाइए.

2. प्रत्येक गुणनखंड को किसी भी संख्या में जितनी बार आता है उतनी बार गुणा करें.

चरण 9.2.3

संख्या $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसका केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, जो स्वयं है.

अभाज्य संख्या नहीं

चरण 9.2.4

$9$ के गुणनखंड $3$ और $3$ हैं.

$3 \cdot 3$

चरण 9.2.5

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$9$

चरण 9.2.6

$x + 2$ के गुणनखंड $(x + 2) \cdot (x + 2)$ हैं, जो कि $x + 2$ को स्वयं $2$ बार से गुणा किया जाता है.

$(x + 2) = (x + 2) \cdot (x + 2)$

$(x + 2)$ $2$ बार आता है.

चरण 9.2.7

${(x + 2)}^{2}$ का LCM (न्यूनतम सामान्य गुणक) सभी गुणनखंडों को किसी भी पद में सबसे बड़ी संख्या में गुणा करने का परिणाम है.

${(x + 2)}^{2}$

चरण 9.2.8

कुछ संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक $LCM$ वह सबसे छोटी संख्या होती है, जिसके गुणनखंड होते हैं.

$9 {(x + 2)}^{2}$

चरण 9.3

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ के प्रत्येक पद को $9 {(x + 2)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ के प्रत्येक पद को $9 {(x + 2)}^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} (9 {(x + 2)}^{2}) = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

चरण 9.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

चरण 9.3.2.2

$9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.2.1

$9$ और $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{9 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

चरण 9.3.2.2.2

$9$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

चरण 9.3.2.3

${(x + 2)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

चरण 9.3.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

चरण 9.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1

$9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1.1

$9 {(x + 2)}^{2}$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$18 = \frac{1}{9} (9 ({(x + 2)}^{2}))$

चरण 9.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

चरण 9.3.3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$18 = {(x + 2)}^{2}$

चरण 9.4

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1

समीकरण को ${(x + 2)}^{2} = 18$ के रूप में फिर से लिखें.

${(x + 2)}^{2} = 18$

चरण 9.4.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x + 2 = \pm \sqrt{18}$

चरण 9.4.3

$\pm \sqrt{18}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.3.1

$18$ को $3^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.3.1.1

$18$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$x + 2 = \pm \sqrt{9 (2)}$

चरण 9.4.3.1.2

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x + 2 = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

चरण 9.4.3.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x + 2 = \pm 3 \sqrt{2}$

चरण 9.4.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x + 2 = 3 \sqrt{2}$

चरण 9.4.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = 3 \sqrt{2} - 2$

चरण 9.4.4.3

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x + 2 = - 3 \sqrt{2}$

चरण 9.4.4.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 3 \sqrt{2} - 2$

चरण 9.4.4.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 3 \sqrt{2} - 2, - 3 \sqrt{2} - 2$

चरण 10

अंत बिंदुओं $a = 1$ और $b = 4$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = 3 \sqrt{2} - 2$ पर एक स्पर्शरेखा पता की जाती है.

अंतिम बिंदुओं $a = 1$ और $b = 4$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = 3 \sqrt{2} - 2$ पर एक स्पर्शरेखा है.

चरण 11

अंत बिंदुओं $a = 1$ और $b = 4$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ पर एक स्पर्शरेखा पता की जाती है.

अंतिम बिंदुओं $a = 1$ और $b = 4$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ पर एक स्पर्शरेखा है.

चरण 12