कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (9 + \ln (x))$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 9 + \ln (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $9 + \ln (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

चरण 1.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $9 + \ln (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $9 + \ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 1.2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ जोड़ें.

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 1.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \cdot \frac{1}{x}$

चरण 1.4

$\frac{1}{9 + \ln (x)}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(9 + \ln (x)) x}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{9 x + \ln (x) x}$

चरण 1.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{x \ln (x) + 9 x}$

चरण 1.5.3

$x \ln (x) + 9 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$x \ln (x)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{x (\ln (x)) + 9 x}$

चरण 1.5.3.2

$9 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{x (\ln (x)) + x \cdot 9}$

चरण 1.5.3.3

$x (\ln (x)) + x \cdot 9$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$ को ${(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [{(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x (\ln (x) + 9)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x (\ln (x) + 9)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x (\ln (x) + 9)$ से बदलें.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

चरण 2.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x) + 9$ है.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x) + 9] + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\ln (x) + 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ है.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.5

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + 0) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.6.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

$\frac{1}{x}$ और $0$ जोड़ें.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{1}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.6.2.2

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.6.2.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.6.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.6.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \cdot 1)$

चरण 2.6.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.4.1

$\ln (x) + 9$ को $1$ से गुणा करें.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + \ln (x) + 9)$

चरण 2.6.4.2

$1$ और $9$ जोड़ें.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (10 + \ln (x))$

चरण 2.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{{(x (\ln (x) + 9))}^{2}} (10 + \ln (x))$

चरण 2.7.2

उत्पाद नियम को $x (\ln (x) + 9)$ पर लागू करें.

$- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$

चरण 2.7.3

$- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- (10 + \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

चरण 2.7.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(- 1 \cdot 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

चरण 2.7.5

$- 1$ को $10$ से गुणा करें.

$(- 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

चरण 2.7.6

$- 10 - \ln (x)$ को $\frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{- 10 - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

चरण 2.7.7

$- 10 - \ln (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.7.1

$- 10$ को $- 1 (10)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (10) - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

चरण 2.7.7.2

$- \ln (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (10) - (\ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

चरण 2.7.7.3

$- 1 (10) - (\ln (x))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

चरण 2.7.7.4

$- 1 (10 + \ln (x))$ को $- (10 + \ln (x))$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

चरण 2.7.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{10 + \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$