कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{7^{n}}{4^{n + 3}}$

चरण 1

एक अनंत ज्यामितीय श्रृंखला का योग सूत्र $\frac{a}{1 - r}$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है जहां $a$ पहला पद है और $r$ क्रमिक पदों के बीच का अनुपात है.

चरण 2

सूत्र $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ में प्लग इन करके और सरलीकरण करके क्रमागत पदों का अनुपात ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$a_{n}$ और $a_{n + 1}$ को $r$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$r = \frac{\frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}}}{\frac{7^{n}}{4^{n + 3}}}$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$r = \frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}} \cdot \frac{4^{n + 3}}{7^{n}}$

चरण 2.2.2

जोड़ना.

$r = \frac{7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

चरण 2.2.3

$7^{n + 1}$ और $7^{n}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}$ में से $7^{n}$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

चरण 2.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1

$4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}$ में से $7^{n}$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

चरण 2.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

चरण 2.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3}}$

चरण 2.2.4

$4^{n + 3}$ और $4^{n + 1 + 3}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$7 \cdot 4^{n + 3}$ में से $4^{n + 1 + 3}$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3}}$

चरण 2.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.1

$1$ से गुणा करें.

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

चरण 2.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

चरण 2.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}}{1}$

चरण 2.2.4.2.4

$7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$

चरण 2.2.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

$1$ और $3$ जोड़ें.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 4)}$

चरण 2.2.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 1 \cdot 4}$

चरण 2.2.5.3

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 4}$

चरण 2.2.6

$n + 3 - n - 4$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

$n$ में से $n$ घटाएं.

$r = 7 \cdot 4^{0 + 3 - 4}$

चरण 2.2.6.2

$0$ और $3$ जोड़ें.

$r = 7 \cdot 4^{3 - 4}$

चरण 2.2.7

$3$ में से $4$ घटाएं.

$r = 7 \cdot 4^{- 1}$

चरण 2.2.8

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = 7 \cdot \frac{1}{4}$

चरण 2.2.9

$7$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$r = \frac{7}{4}$

चरण 3

Check if the series is convergent or divergent.

Since $| r | \geq 1$ , the series diverges.