कैलकुलस उदाहरण

$x^{- 3} \ln (x)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 3}$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$x^{- 3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

चरण 1.1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$x^{- 3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

चरण 1.1.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

$x^{- 3}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{- 3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

चरण 1.1.3.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 3}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{x \cdot x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

चरण 1.1.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

$x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{x^{1} x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

चरण 1.1.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{x^{1 + 3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

चरण 1.1.4.2

$1$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

चरण 1.1.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 3$ है.

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) (- 3 x^{- 4})$

चरण 1.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 3 x^{- 4} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

चरण 1.1.6.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 3 \frac{1}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

चरण 1.1.6.2.2

$- 3$ और $\frac{1}{x^{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

चरण 1.1.6.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

चरण 1.1.6.2.4

$\ln (x)$ और $\frac{3}{x^{4}}$ को मिलाएं.

$- \frac{\ln (x) \cdot 3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

चरण 1.1.6.2.5

$3$ को $\ln (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = - \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$ है.

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{1}{x^{4}}$ घटाएं.

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} = - \frac{1}{x^{4}}$

चरण 2.3

चूंकि समीकरण के प्रत्येक पक्ष के व्यंजक का हर समान होता है, इसलिए भाजक बराबर होने चाहिए.

$- 3 \ln (x) = - 1$

चरण 2.4

$- 3 \ln (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$- 3 \ln (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से विभाजित करें.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

चरण 2.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$- 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

चरण 2.4.2.1.2

$\ln (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 3}$

चरण 2.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\ln (x) = \frac{1}{3}$

चरण 2.5

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{3}}$

चरण 2.6

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x) = \frac{1}{3}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{1}{3}} = x$

चरण 2.7

समीकरण को $x = e^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = e^{\frac{1}{3}}$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{3 \ln (x)}{x^{4}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{4} = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

चरण 3.2.2

$\pm \sqrt[4]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$0$ को $0^{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

चरण 3.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 3.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 3.3

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (x)$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$x \leq 0$

चरण 3.4

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $x^{- 3} \ln (x)$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = e^{\frac{1}{3}}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$e^{\frac{1}{3}}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

घातांक को ${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

चरण 4.1.2.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.2.1

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

चरण 4.1.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

चरण 4.1.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

चरण 4.1.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{e} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

चरण 4.1.2.3

$\frac{1}{3}$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \ln (e))$

चरण 4.1.2.4

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \cdot 1)$

चरण 4.1.2.5

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e} \cdot \frac{1}{3}$

चरण 4.1.2.6

$\frac{1}{e}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e \cdot 3}$

चरण 4.1.2.7

$3$ को $e$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{3 e}$

चरण 4.2

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(0)}^{- 3} \ln (0)$

चरण 4.2.2

शून्य का प्राकृतिक लघुगणक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(e^{\frac{1}{3}}, \frac{1}{3 e})$

चरण 5