कैलकुलस उदाहरण

$9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$

चरण 1

$9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 \cos^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ है.

$9 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$9 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$9 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$9 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.4

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$9 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

चरण 2.1.2.5

$- 2$ को $9$ से गुणा करें.

$- 18 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 18$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 18 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- 18 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$- 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 2.1.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x)$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 18 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [- 18 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- 18 \cos (x) \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चूंकि $- 18$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 18 \cos (x) \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- 18 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ है.

$- 18 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$- 18 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$- 18 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.4

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- 18 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.5

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 18 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.6

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 18 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 18 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 18 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.9

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 18 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.10

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 18 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 18 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

चरण 2.2.2.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 18 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चूंकि $- 18$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 18 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $- 18 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$- 18 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 18 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 2.2.3.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- 18 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 18 (- \sin (x))$

चरण 2.2.3.3

$- 1$ को $- 18$ से गुणा करें.

$- 18 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 18 \sin (x)$

चरण 2.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 18 \cos^{2} (x) - 18 (- \sin^{2} (x)) + 18 \sin (x)$

चरण 2.2.4.2

$- 1$ को $- 18$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x)$

चरण 2.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x)$ है.

$- 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x)$

चरण 3

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

चरण 3.2

$- 18 \cos^{2} (x)$ को $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ पहचान के आधार पर $- 18 (1 - \sin^{2} (x))$ से बदलें.

$- 18 (1 - \sin^{2} (x)) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

चरण 3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 18 \cdot 1 - 18 (- \sin^{2} (x)) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

चरण 3.3.2

$- 18$ को $1$ से गुणा करें.

$- 18 - 18 (- \sin^{2} (x)) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

चरण 3.3.3

$- 1$ को $- 18$ से गुणा करें.

$- 18 + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

चरण 3.4

$18 \sin^{2} (x)$ और $18 \sin^{2} (x)$ जोड़ें.

$- 18 + 36 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

चरण 3.5

बहुपद को पुन: व्यवस्थित करें.

$36 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) - 18 = 0$

चरण 3.6

$u$ को $\sin (x)$ से प्रतिस्थापित करें.

$36 {(u)}^{2} + 18 (u) - 18 = 0$

चरण 3.7

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$36 u^{2} + 18 u - 18$ में से $18$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1

$36 u^{2}$ में से $18$ का गुणनखंड करें.

$18 (2 u^{2}) + 18 u - 18 = 0$

चरण 3.7.1.2

$18 u$ में से $18$ का गुणनखंड करें.

$18 (2 u^{2}) + 18 u - 18 = 0$

चरण 3.7.1.3

$- 18$ में से $18$ का गुणनखंड करें.

$18 (2 u^{2}) + 18 u + 18 (- 1) = 0$

चरण 3.7.1.4

$18 (2 u^{2}) + 18 u$ में से $18$ का गुणनखंड करें.

$18 (2 u^{2} + u) + 18 (- 1) = 0$

चरण 3.7.1.5

$18 (2 u^{2} + u) + 18 (- 1)$ में से $18$ का गुणनखंड करें.

$18 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

चरण 3.7.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ है और जिसका योग $b = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1.1.1

$1$ से गुणा करें.

$18 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

चरण 3.7.2.1.1.2

$1$ को $- 1$ जोड़ $2$ के रूप में फिर से लिखें

$18 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

चरण 3.7.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$18 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

चरण 3.7.2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$18 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

चरण 3.7.2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$18 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

चरण 3.7.2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $2 u - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$18 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

चरण 3.7.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$18 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

चरण 3.8

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

चरण 3.9

$2 u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

$2 u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 u - 1 = 0$

चरण 3.9.2

$u$ के लिए $2 u - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 u = 1$

चरण 3.9.2.2

$2 u = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.2.1

$2 u = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 3.9.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 3.9.2.2.2.1.2

$u$ को $1$ से विभाजित करें.

$u = \frac{1}{2}$

चरण 3.10

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u + 1 = 0$

चरण 3.10.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$u = - 1$

चरण 3.11

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $18 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

चरण 3.12

$\sin (x)$ को $u$ से प्रतिस्थापित करें.

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

चरण 3.13

$x$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

चरण 3.14

$x$ के लिए $\sin (x) = \frac{1}{2}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.14.1

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

चरण 3.14.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.14.2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{6}$ है.

$x = \frac{π}{6}$

चरण 3.14.3

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - \frac{π}{6}$

चरण 3.14.4

$π - \frac{π}{6}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.14.4.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 3.14.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.14.4.2.1

$π$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 3.14.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

चरण 3.14.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.14.4.3.1

$6$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

चरण 3.14.4.3.2

$6 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{5 π}{6}$

चरण 3.14.5

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.14.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.14.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.14.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.14.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.14.6

$\sin (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.15

$x$ के लिए $\sin (x) = - 1$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.15.1

$x = \arcsin (- 1)$

चरण 3.15.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.15.2.1

$\arcsin (- 1)$ का सटीक मान $- \frac{π}{2}$ है.

$x = - \frac{π}{2}$

चरण 3.15.3

तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, संदर्भ कोण पता करने के लिए हल को $2 π$ से घटाएं. इसके बाद, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए इस संदर्भ कोण को $π$ में जोड़ें.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

चरण 3.15.4

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.15.4.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ में से $2 π$ घटाएं.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

चरण 3.15.4.2

$\frac{3 π}{2}$ का परिणामी कोण धनात्मक है, $2 π$ से कम है और $2 π + \frac{π}{2} + π$ के साथ कोटरमिनल है.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 3.15.5

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.15.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.15.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.15.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.15.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.15.6

धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऋणात्मक कोण में $2 π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.15.6.1

धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए $2 π$ को $- \frac{π}{2}$ में जोड़ें.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

चरण 3.15.6.2

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 3.15.6.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.15.6.3.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 3.15.6.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 3.15.6.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.15.6.4.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4 π - π}{2}$

चरण 3.15.6.4.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{3 π}{2}$

चरण 3.15.6.5

नए कोणों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 3.15.7

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.16

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.17

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $\frac{π}{6}$ को $f (x) = 9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{6}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{6}) = 9 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

चरण 4.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{π}{6}) = 9 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 18 \sin (\frac{π}{6})$

चरण 4.1.2.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{3}}{2}$ पर लागू करें.

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

चरण 4.1.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.3.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

चरण 4.1.2.1.3.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

चरण 4.1.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

चरण 4.1.2.1.3.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

चरण 4.1.2.1.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

चरण 4.1.2.1.3.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

चरण 4.1.2.1.4

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3}{4}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

चरण 4.1.2.1.5

$9 (\frac{3}{4})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.5.1

$9$ और $\frac{3}{4}$ को मिलाएं.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{9 \cdot 3}{4} - 18 \sin (\frac{π}{6})$

चरण 4.1.2.1.5.2

$9$ को $3$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} - 18 \sin (\frac{π}{6})$

चरण 4.1.2.1.6

$\sin (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} - 18 (\frac{1}{2})$

चरण 4.1.2.1.7

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.7.1

$- 18$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{1}{2})$

चरण 4.1.2.1.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{1}{2}))$

चरण 4.1.2.1.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} - 9$

चरण 4.1.2.2

$- 9$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}$

चरण 4.1.2.3

$- 9$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}$

चरण 4.1.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27 - 9 \cdot 4}{4}$

चरण 4.1.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.5.1

$- 9$ को $4$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27 - 36}{4}$

चरण 4.1.2.5.2

$27$ में से $36$ घटाएं.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{- 9}{4}$

चरण 4.1.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{π}{6}) = - \frac{9}{4}$

चरण 4.1.2.7

अंतिम उत्तर $- \frac{9}{4}$ है.

$- \frac{9}{4}$

चरण 4.2

$\frac{π}{6}$ को $f (x) = 9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(\frac{π}{6}, - \frac{9}{4})$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(\frac{π}{6}, - \frac{9}{4})$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, \frac{π}{6})$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.42359877$ से बदलें.

$f'' (0.42359877) = - 18 \cos^{2} (0.42359877) + 18 \sin^{2} (0.42359877) + 18 \sin (0.42359877)$

चरण 6.2

अंतिम उत्तर $- 18 \cos^{2} (0.42359877) + 18 \sin^{2} (0.42359877) + 18 \sin (0.42359877)$ है.

$- 18 \cos^{2} (0.42359877) + 18 \sin^{2} (0.42359877) + 18 \sin (0.42359877)$

चरण 6.3

$0.42359877$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 4.51875903$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- \infty, \frac{π}{6})$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- \infty, \frac{π}{6})$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(\frac{π}{6}, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.62359877$ से बदलें.

$f'' (0.62359877) = - 18 \cos^{2} (0.62359877) + 18 \sin^{2} (0.62359877) + 18 \sin (0.62359877)$

चरण 7.2

अंतिम उत्तर $- 18 \cos^{2} (0.62359877) + 18 \sin^{2} (0.62359877) + 18 \sin (0.62359877)$ है.

$- 18 \cos^{2} (0.62359877) + 18 \sin^{2} (0.62359877) + 18 \sin (0.62359877)$

चरण 7.3

$0.62359877$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $4.7876356$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(\frac{π}{6}, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{π}{6}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को जोड़ से घटाव या घटाव से जोड़ में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(\frac{π}{6}, - \frac{9}{4})$ है.

$(\frac{π}{6}, - \frac{9}{4})$

चरण 9