कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$

चरण 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

चूंकि $64$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $64 x^{2}$ का व्युत्पन्न $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.1.2.3

$2$ को $64$ से गुणा करें.

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

चूंकि $128$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{128}{x}$ का व्युत्पन्न $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.1.3.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$128 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.1.3.4

$- 1$ को $128$ से गुणा करें.

$128 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$128 x - 128 x^{- 2} + 0$

चरण 1.1.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$128 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

चरण 1.1.1.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.2.1

$- 128$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$128 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

चरण 1.1.1.5.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$128 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

चरण 1.1.1.5.2.3

$128 x - \frac{128}{x^{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 128 x - \frac{128}{x^{2}}$

चरण 1.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

चरण 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [128 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

चूंकि $128$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $128 x$ का व्युत्पन्न $128 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$128 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

चरण 1.1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$128 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

चरण 1.1.2.2.3

$128$ को $1$ से गुणा करें.

$128 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

चरण 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

चूंकि $- 128$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{128}{x^{2}}$ का व्युत्पन्न $- 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ है.

$128 - 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

चरण 1.1.2.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ को ${(x^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$128 - 128 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

चरण 1.1.2.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$128 - 128 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.1.2.3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$128 - 128 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.1.2.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.1.2.3.4

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

चरण 1.1.2.3.5

घातांक को ${(x^{2})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$128 - 128 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

चरण 1.1.2.3.5.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$128 - 128 (- x^{- 4} (2 x))$

चरण 1.1.2.3.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$128 - 128 (- 2 x^{- 4} x)$

चरण 1.1.2.3.7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$128 - 128 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

चरण 1.1.2.3.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$128 - 128 (- 2 x^{1 - 4})$

चरण 1.1.2.3.9

$1$ में से $4$ घटाएं.

$128 - 128 (- 2 x^{- 3})$

चरण 1.1.2.3.10

$- 2$ को $- 128$ से गुणा करें.

$128 + 256 x^{- 3}$

चरण 1.1.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$128 + 256 \frac{1}{x^{3}}$

चरण 1.1.2.4.2

$256$ और $\frac{1}{x^{3}}$ को मिलाएं.

$128 + \frac{256}{x^{3}}$

चरण 1.1.2.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = \frac{256}{x^{3}} + 128$

चरण 1.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{256}{x^{3}} + 128$ है.

$\frac{256}{x^{3}} + 128$

चरण 1.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $128$ घटाएं.

$\frac{256}{x^{3}} = - 128$

चरण 1.2.3

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$x^{3}, 1$

चरण 1.2.3.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$x^{3}$

चरण 1.2.4

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{256}{x^{3}} = - 128$ के प्रत्येक पद को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$\frac{256}{x^{3}} = - 128$ के प्रत्येक पद को $x^{3}$ से गुणा करें.

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

चरण 1.2.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

$x^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

चरण 1.2.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$256 = - 128 x^{3}$

चरण 1.2.5

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

समीकरण को $- 128 x^{3} = 256$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 128 x^{3} = 256$

चरण 1.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $256$ घटाएं.

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

चरण 1.2.5.3

$- 128 x^{3} - 256$ में से $- 128$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.3.1

$- 128 x^{3}$ में से $- 128$ का गुणनखंड करें.

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

चरण 1.2.5.3.2

$- 256$ में से $- 128$ का गुणनखंड करें.

$- 128 x^{3} - 128 \cdot 2 = 0$

चरण 1.2.5.3.3

$- 128 (x^{3}) - 128 (2)$ में से $- 128$ का गुणनखंड करें.

$- 128 (x^{3} + 2) = 0$

चरण 1.2.5.4

$- 128 (x^{3} + 2) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 128$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.4.1

$- 128 (x^{3} + 2) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 128$ से विभाजित करें.

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

चरण 1.2.5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.4.2.1

$- 128$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

चरण 1.2.5.4.2.1.2

$x^{3} + 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{3} + 2 = \frac{0}{- 128}$

चरण 1.2.5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.4.3.1

$0$ को $- 128$ से विभाजित करें.

$x^{3} + 2 = 0$

चरण 1.2.5.5

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x^{3} = - 2$

चरण 1.2.5.6

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \sqrt[3]{- 2}$

चरण 1.2.5.7

$\sqrt[3]{- 2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.7.1

$- 2$ को ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.7.1.1

$- 2$ को $- 1 (2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \sqrt[3]{- 1 (2)}$

चरण 1.2.5.7.1.2

$- 1$ को ${(- 1)}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

चरण 1.2.5.7.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = - 1 \sqrt[3]{2}$

चरण 1.2.5.7.3

$- 1 \sqrt[3]{2}$ को $- \sqrt[3]{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = - \sqrt[3]{2}$

चरण 2

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{128}{x}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x = 0$

चरण 2.2

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 0}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 0}$

चरण 3

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, - \sqrt[3]{2}) \cup (- \sqrt[3]{2}, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 4

अंतराल $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4$ से बदलें.

$f'' (- 4) = \frac{256}{{(- 4)}^{3}} + 128$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$- 4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = \frac{256}{- 64} + 128$

चरण 4.2.1.2

$256$ को $- 64$ से विभाजित करें.

$f'' (- 4) = - 4 + 128$

चरण 4.2.2

$- 4$ और $128$ जोड़ें.

$f'' (- 4) = 124$

चरण 4.2.3

अंतिम उत्तर $124$ है.

$124$

चरण 4.3

अंतराल $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (- 4)$ धनात्मक है.

$(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 5

अंतराल $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f'' (- 1) = \frac{256}{{(- 1)}^{3}} + 128$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 1) = \frac{256}{- 1} + 128$

चरण 5.2.1.2

$256$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$f'' (- 1) = - 256 + 128$

चरण 5.2.2

$- 256$ और $128$ जोड़ें.

$f'' (- 1) = - 128$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 128$ है.

$- 128$

चरण 5.3

अंतराल $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (- 1)$ ऋणात्मक है.

$(- \sqrt[3]{2}, 0)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 6

अंतराल $(0, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f'' (2) = \frac{256}{{(2)}^{3}} + 128$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (2) = \frac{256}{8} + 128$

चरण 6.2.1.2

$256$ को $8$ से विभाजित करें.

$f'' (2) = 32 + 128$

चरण 6.2.2

$32$ और $128$ जोड़ें.

$f'' (2) = 160$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $160$ है.

$160$

चरण 6.3

अंतराल $(0, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (2)$ धनात्मक है.

$(0, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 7

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

$(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

$(- \sqrt[3]{2}, 0)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(0, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 8