कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{2} \ln (3 x) + 6$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} \ln (3 x) + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \ln (3 x)$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.6

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.7

$\frac{1}{3 x}$ और $3$ को मिलाएं.

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.8

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.8.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.9

$x^{2}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.10

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.10.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.10.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.10.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.10.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.10.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x}{1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.2.10.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x + \ln (3 x) (2 x) + 0$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

$x + \ln (3 x) (2 x)$ और $0$ जोड़ें.

$x + \ln (3 x) (2 x)$

चरण 1.1.4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $2 x \ln (3 x) + x$ है.

$2 x \ln (3 x) + x$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $2 x \ln (3 x) + x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x \ln (3 x) + x = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$2 x \ln (3 x) = - x$

चरण 2.3

$2 x \ln (3 x) = - x$ के प्रत्येक पद को $2 x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$2 x \ln (3 x) = - x$ के प्रत्येक पद को $2 x$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

चरण 2.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

चरण 2.3.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

चरण 2.3.2.2.2

$\ln (3 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

चरण 2.3.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (3 x) = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.3.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$

चरण 2.4

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (3 x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

चरण 2.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- \frac{1}{2}} = 3 x$

चरण 2.6

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

समीकरण को $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 x = e^{- \frac{1}{2}}$

चरण 2.6.2

$3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

$3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

चरण 2.6.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

चरण 2.6.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

चरण 2.6.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $e^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (3 x)$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$3 x \leq 0$

चरण 3.2

$3 x \leq 0$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$3 x \leq 0$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

चरण 3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

चरण 3.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \leq \frac{0}{3}$

चरण 3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

$0$ को $3$ से विभाजित करें.

$x \leq 0$

चरण 3.3

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $x^{2} \ln (3 x) + 6$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

चरण 4.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ पर लागू करें.

$\frac{1^{2}}{{(3 e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

चरण 4.1.2.1.2

उत्पाद नियम को $3 e^{\frac{1}{2}}$ पर लागू करें.

$\frac{1^{2}}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

चरण 4.1.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

चरण 4.1.2.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{9 {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

चरण 4.1.2.3.2

घातांक को ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

चरण 4.1.2.3.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

चरण 4.1.2.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{9 e^{1}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

चरण 4.1.2.3.3

सरल करें.

$\frac{1}{9 e} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

चरण 4.1.2.4

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{9 e} \ln (3 \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

चरण 4.1.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{9 e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

चरण 4.1.2.5

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $e^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{9 e} \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 6$

चरण 4.1.2.6

$- \frac{1}{2}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ का प्रसार करें.

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 6$

चरण 4.1.2.7

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 6$

चरण 4.1.2.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2}) + 6$

चरण 4.1.2.9

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.9.1

$\frac{1}{9 e}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{9 e \cdot 2} + 6$

चरण 4.1.2.9.2

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{18 e} + 6$

चरण 4.2

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

${(0)}^{2} \ln (3 (0)) + 6$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 \ln (3 (0)) + 6$

चरण 4.2.2.1.2

$\ln (3 (0))$ को $\ln (3) + \ln (0)$ के रूप में फिर से लिखें.

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

चरण 4.2.2.1.3

शून्य का प्राकृतिक लघुगणक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

चरण 4.2.2.2

शून्य का प्राकृतिक लघुगणक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{18 e} + 6)$

चरण 5