कैलकुलस उदाहरण

$J_{j (θ)} = - y^{(j)} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$ है.

$\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1

चूंकि $- y^{j} \log (σ) θ$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y^{j} \log (σ) (x^{j} θ)$ का व्युत्पन्न $- y^{j} \log (σ) θ \frac{d}{d x} [x^{j}]$ है.

$- y^{j} \log (σ) θ \frac{d}{d x} [x^{j}] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = j$ है.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 3.1

चूंकि $- (1 - y^{j})$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- (1 - y^{j}) \log (1 - σ x^{j} θ)$ का व्युत्पन्न $- (1 - y^{j}) \frac{d}{d x} [\log (1 - σ x^{j} θ)]$ है.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) \frac{d}{d x} [\log (1 - σ x^{j} θ)]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \log (x)$ और $g (x) = 1 - σ x^{j} θ$ है.

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चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 - σ x^{j} θ$ के रूप में सेट करें.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [1 - σ x^{j} θ])$

चरण 3.2.2

$u$ के संबंध में $\log (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u \ln (10)}$ है.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} \frac{d}{d x} [1 - σ x^{j} θ])$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - σ x^{j} θ$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]$ है.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]))$

चरण 3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]))$

चरण 3.5

चूंकि $- σ θ$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- σ x^{j} θ$ का व्युत्पन्न $- σ θ \frac{d}{d x} [x^{j}]$ है.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 - σ θ \frac{d}{d x} [x^{j}]))$

चरण 3.6

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 - σ θ (j x^{j - 1})))$

चरण 3.7

$0$ में से $σ θ j x^{j - 1}$ घटाएं.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (- σ θ j x^{j - 1}))$

चरण 3.8

$\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ और $σ$ को मिलाएं.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} θ j x^{j - 1})$

चरण 3.9

$θ$ और $\frac{σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ को मिलाएं.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{θ σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} j x^{j - 1})$

चरण 3.10

$j$ और $\frac{θ σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ को मिलाएं.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{j (θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} x^{j - 1})$

चरण 3.11

$x^{j - 1}$ और $\frac{j (θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ को मिलाएं.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{x^{j - 1} (j (θ σ))}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)})$

चरण 3.12

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + 1 (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$

चरण 3.13

$1 - y^{j}$ को $1$ से गुणा करें.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{1 \ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$

चरण 4.2

$\ln (10)$ को $1$ से गुणा करें.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{\ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$

चरण 4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- x^{j - 1} y^{j} j θ \log (σ) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{\ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$