कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} \ln (x)$

चरण 1

$x^{2} \ln (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.3.2

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.3.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.3.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.3.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.3.2.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x + \ln (x) (2 x)$

चरण 2.1.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $2 x \ln (x) + x$ है.

$2 x \ln (x) + x$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $2 x \ln (x) + x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x \ln (x) + x = 0$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$2 x \ln (x) = - x$

चरण 3.3

$2 x \ln (x) = - x$ के प्रत्येक पद को $2 x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$2 x \ln (x) = - x$ के प्रत्येक पद को $2 x$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

चरण 3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

चरण 3.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

चरण 3.3.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

चरण 3.3.2.2.2

$\ln (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

चरण 3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

चरण 3.3.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

चरण 3.3.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

चरण 3.4

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

चरण 3.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

चरण 3.6

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

समीकरण को $x = e^{- \frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

चरण 3.6.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ हैं.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (x)$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$x \leq 0$

चरण 5.2

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 6

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

चरण 7

उन अंतरालों को छोड़ दें जो डोमेन में नहीं हैं.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.30326533$ से बदलें.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

चरण 8.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$2$ को $0.30326533$ से गुणा करें.

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln (0.30326533) + 0.30326533$

चरण 8.2.2.2

$0.60653067$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $0.60653067 \ln (0.30326533)$ को सरल करें.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.30326533}^{0.60653067}) + 0.30326533$

चरण 8.2.2.3

$0.30326533$ को $0.60653067$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (0.30326533) = \ln (0.48496413) + 0.30326533$

चरण 8.2.3

$\ln (0.48496413)$ और $0.30326533$ जोड़ें.

$f' (0.30326533) = - 0.42041501$

चरण 8.2.4

अंतिम उत्तर $- 0.42041501$ है.

$- 0.42041501$

चरण 8.3

$x = 0.30326533$ पर व्युत्पन्न $- 0.42041501$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ पर घटता हुआ

चरण 9

उन अंतरालों को छोड़ दें जो डोमेन में नहीं हैं.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

चरण 10

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

व्यंजक में चर $x$ को $1.60653067$ से बदलें.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

चरण 10.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

चरण 10.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$2$ को $1.60653067$ से गुणा करें.

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln (1.60653067) + 1.60653067$

चरण 10.2.2.2

$3.21306134$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3.21306134 \ln (1.60653067)$ को सरल करें.

$f' (1.60653067) = \ln ({1.60653067}^{3.21306134}) + 1.60653067$

चरण 10.2.2.3

$1.60653067$ को $3.21306134$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1.60653067) = \ln (4.58705612) + 1.60653067$

चरण 10.2.3

$\ln (4.58705612)$ और $1.60653067$ जोड़ें.

$f' (1.60653067) = 3.12976912$

चरण 10.2.4

अंतिम उत्तर $3.12976912$ है.

$3.12976912$

चरण 10.3

$x = 1.60653067$ पर व्युत्पन्न $3.12976912$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 11

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

चरण 12