कैलकुलस उदाहरण

$h (x) = x^{\sqrt{x}}$ ; $a = 4$

चरण 1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [x^{x^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 2

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x^{x^{\frac{1}{2}}}$ को $e^{\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})}]$

चरण 2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ से बदलें.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

चरण 4

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 5

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 6.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 7

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 7.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 7.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 7.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 7.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

चरण 9

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

चरण 10

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

चरण 11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

चरण 12

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

चरण 12.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

चरण 13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

चरण 14

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

चरण 15

$\ln (x)$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

चरण 16

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 17.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}$ और $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 17.2.2

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}$ और $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$