कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{7 e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 1.2

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 1.3

चूँकि फलन $e^{\frac{1}{2} x}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए फलन का धनात्मक स्थिरांक $7$ गुना भी $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

सतत एकाधिक $7$ हटाई गई लिमिट पर विचार करें.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{2} x}}$

चरण 1.3.2

चूँकि घातांक $\frac{1}{2} x$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{\frac{1}{2} x}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 1.3.3

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{7 e^{\frac{x}{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{2}}]}$

चरण 3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{2}}]}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 e^{\frac{x}{2}}]}$

चरण 3.3

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 e^{\frac{x}{2}}$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

चरण 3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \frac{x}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{2}$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])}$

चरण 3.4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])}$

चरण 3.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])}$

चरण 3.5

कोष्ठक हटा दें.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

चरण 3.6

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{7 e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])}$

चरण 3.7

$\frac{1}{2}$ और $7$ को मिलाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7}{2} e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.8

$\frac{7}{2}$ और $e^{\frac{x}{2}}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1}$

चरण 3.10

$\frac{7 e^{\frac{x}{2}}}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{7 e^{\frac{x}{2}}}{2}}$

चरण 4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} 3 x^{2} \frac{2}{7 e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 5

गुणनखंडों को जोड़े.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$3$ और $\frac{2}{7 e^{\frac{x}{2}}}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{3 \cdot 2}{7 e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 5.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{6}{7 e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 5.3

$x^{2}$ और $\frac{6}{7 e^{\frac{x}{2}}}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 6}{7 e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 6

$\frac{6}{7}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 7

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{6}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 7.1.2

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$\frac{6}{7} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 7.1.3

चूँकि घातांक $\frac{x}{2}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{\frac{x}{2}}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{6}{7} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

चरण 7.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{6}{7} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

चरण 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

चरण 7.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

चरण 7.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

चरण 7.3.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

चरण 7.3.3.2

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

चरण 7.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

चरण 7.3.4

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 7.3.5

$\frac{1}{2}$ और $e^{\frac{x}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 7.3.6

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1}$

चरण 7.3.7

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}}$

चरण 7.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} 2 x \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 7.5

गुणनखंडों को जोड़े.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$2$ और $\frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} x \frac{2 \cdot 2}{e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 7.5.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} x \frac{4}{e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 7.5.3

$x$ और $\frac{4}{e^{\frac{x}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{6}{7} lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 4}{e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 8

$4$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 9

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{6}{7} \cdot 4 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 9.1.2

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$\frac{6}{7} \cdot 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 9.1.3

$\frac{6}{7} \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

चरण 9.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{6}{7} \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

चरण 9.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

चरण 9.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

चरण 9.3.2

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

चरण 9.3.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

चरण 9.3.3.2

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

चरण 9.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

चरण 9.3.4

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 9.3.5

$\frac{1}{2}$ और $e^{\frac{x}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 9.3.6

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1}$

चरण 9.3.7

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}}$

चरण 9.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} 1 \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 9.5

$\frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{6}{7} \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 10

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{6}{7} \cdot 4 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{2}}}$

चरण 11

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{e^{\frac{x}{2}}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{6}{7} \cdot 4 \cdot 2 \cdot 0$

चरण 12

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{6}{7} \cdot 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$\frac{6}{7}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{6 \cdot 4}{7} \cdot 2 \cdot 0$

चरण 12.1.2

$6$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{24}{7} \cdot 2 \cdot 0$

चरण 12.2

$\frac{24}{7} \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$\frac{24}{7}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{24 \cdot 2}{7} \cdot 0$

चरण 12.2.2

$24$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{48}{7} \cdot 0$

चरण 12.3

$\frac{48}{7}$ को $0$ से गुणा करें.

$0$