कैलकुलस उदाहरण

$\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54} \leq 0$

चरण 1

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर रखकर और उसे हल करके ऐसे सभी मान पता करें जहाँ व्यंजक नकारात्मक से सकारात्मक में परिवर्तित होता है.

$3 x^{2} - 13 x + 4 = 0$

$3 x^{2} - 27 x + 54 = 0$

चरण 2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ है और जिसका योग $b = - 13$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- 13 x$ में से $- 13$ का गुणनखंड करें.

$3 x^{2} - 13 x + 4 = 0$

चरण 2.1.2

$- 13$ को $- 1$ जोड़ $- 12$ के रूप में फिर से लिखें

$3 x^{2} + (- 1 - 12) x + 4 = 0$

चरण 2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 x^{2} - 1 x - 12 x + 4 = 0$

चरण 2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(3 x^{2} - 1 x) - 12 x + 4 = 0$

चरण 2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$x (3 x - 1) - 4 (3 x - 1) = 0$

चरण 2.3

महत्तम समापवर्तक, $3 x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(3 x - 1) (x - 4) = 0$

चरण 3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$3 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

चरण 4

$3 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$3 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x - 1 = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए $3 x - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$3 x = 1$

चरण 4.2.2

$3 x = 1$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$3 x = 1$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

चरण 4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

चरण 4.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{1}{3}$

चरण 5

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(3 x - 1) (x - 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{1}{3}, 4$

चरण 7

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$3 x^{2} - 27 x + 54$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$3 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2}) - 27 x + 54 = 0$

चरण 7.1.2

$- 27 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2}) + 3 (- 9 x) + 54 = 0$

चरण 7.1.3

$54$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 x^{2} + 3 (- 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

चरण 7.1.4

$3 x^{2} + 3 (- 9 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

चरण 7.1.5

$3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

चरण 7.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 9 x + 18$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $18$ है और जिसका योग $- 9$ है.

$- 6, - 3$

चरण 7.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$3 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

चरण 7.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$3 (x - 6) (x - 3) = 0$

चरण 8

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

चरण 9

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 6 = 0$

चरण 9.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $6$ जोड़ें.

$x = 6$

चरण 10

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 10.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 11

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $3 (x - 6) (x - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 6, 3$

चरण 12

प्रत्येक गुणनखंड के लिए उन मानों को प्राप्त करने के लिए हल करें जहां निरपेक्ष मान व्यंजक ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है.

$x = \frac{1}{3}, 4$

$x = 6, 3$

चरण 13

हल समेकित करें.

$x = \frac{1}{3}, 4, 6, 3$

चरण 14

$\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{3 x^{2} - 27 x + 54}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$3 x^{2} - 27 x + 54 = 0$

चरण 14.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1.1

$3 x^{2} - 27 x + 54$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1.1.1

$3 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2}) - 27 x + 54 = 0$

चरण 14.2.1.1.2

$- 27 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2}) + 3 (- 9 x) + 54 = 0$

चरण 14.2.1.1.3

$54$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 x^{2} + 3 (- 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

चरण 14.2.1.1.4

$3 x^{2} + 3 (- 9 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18 = 0$

चरण 14.2.1.1.5

$3 (x^{2} - 9 x) + 3 \cdot 18$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

चरण 14.2.1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 9 x + 18$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1.2.1.1

$- 6, - 3$

चरण 14.2.1.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$3 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

चरण 14.2.1.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$3 (x - 6) (x - 3) = 0$

चरण 14.2.2

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

चरण 14.2.3

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.3.1

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 6 = 0$

चरण 14.2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $6$ जोड़ें.

$x = 6$

चरण 14.2.4

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.4.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 14.2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 14.2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $3 (x - 6) (x - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 6, 3$

चरण 14.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$

चरण 15

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 3$

$3 < x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

चरण 16

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

अंतराल $x < \frac{1}{3}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

अंतराल $x < \frac{1}{3}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0$

चरण 16.1.2

मूल असमानता में $x$ को $0$ से बदलें.

$\frac{3 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 + 4}{3 {(0)}^{2} - 27 \cdot 0 + 54} \leq 0$

चरण 16.1.3

बाईं ओर $0.\overline{074}$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 16.2

अंतराल $\frac{1}{3} < x < 3$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.1

अंतराल $\frac{1}{3} < x < 3$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 2$

चरण 16.2.2

मूल असमानता में $x$ को $2$ से बदलें.

$\frac{3 {(2)}^{2} - 13 \cdot 2 + 4}{3 {(2)}^{2} - 27 \cdot 2 + 54} \leq 0$

चरण 16.2.3

बाईं ओर $- 0.8\overline{3}$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 16.3

अंतराल $3 < x < 4$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.1

अंतराल $3 < x < 4$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 3.5$

चरण 16.3.2

मूल असमानता में $x$ को $3.5$ से बदलें.

$\frac{3 {(3.5)}^{2} - 13 \cdot 3.5 + 4}{3 {(3.5)}^{2} - 27 \cdot 3.5 + 54} \leq 0$

चरण 16.3.3

बाईं ओर $1.2\overline{6}$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 16.4

अंतराल $4 < x < 6$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.4.1

अंतराल $4 < x < 6$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 5$

चरण 16.4.2

मूल असमानता में $x$ को $5$ से बदलें.

$\frac{3 {(5)}^{2} - 13 \cdot 5 + 4}{3 {(5)}^{2} - 27 \cdot 5 + 54} \leq 0$

चरण 16.4.3

बाईं ओर $- 2.\overline{3}$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 16.5

अंतराल $x > 6$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.1

अंतराल $x > 6$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 8$

चरण 16.5.2

मूल असमानता में $x$ को $8$ से बदलें.

$\frac{3 {(8)}^{2} - 13 \cdot 8 + 4}{3 {(8)}^{2} - 27 \cdot 8 + 54} \leq 0$

चरण 16.5.3

बाईं ओर $3.0\overline{6}$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 16.6

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < \frac{1}{3}$ गलत

$\frac{1}{3} < x < 3$ सही

$3 < x < 4$ गलत

$4 < x < 6$ सही

$x > 6$ गलत

$x < \frac{1}{3}$ गलत

$\frac{1}{3} < x < 3$ सही

$3 < x < 4$ गलत

$4 < x < 6$ सही

$x > 6$ गलत

चरण 17

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$\frac{1}{3} \leq x < 3$ या $4 \leq x < 6$

चरण 18

असमानता को अंतराल संकेतन में बदलें.

$[\frac{1}{3}, 3) \cup [4, 6)$

चरण 19