कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1 + t^{3}} d t$

चरण 1

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1^{3} + t^{3}} d t]$

चरण 2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के योग का उपयोग करके गुणनखंड करें, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ जहाँ $a = 1$ और $b = t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

चरण 3.2

$- 1 t$ को $- t$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

चरण 4

कलन के मौलिक प्रमेय और चेन रूल का उपयोग करके $x$ के संबंध में $\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ का व्युत्पन्न लें.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + {(x^{2})}^{2})}$

चरण 5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 5.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + {(x^{2})}^{2})}$

चरण 5.2

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

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चरण 5.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{2 \cdot 2})}$

चरण 5.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{4})}$